Système , nombres entiers

Bonjour ,
Voila l'exercice qui me pose probleme :
Je dois trouvé trois entiers x,a,et b tels que
x = 15a + 11,
x = 26b + 17,
x étant compris entre 1 et 500 .
J'ai pensé à Bezout , et j'ai trouvé : 17 .(2) + 11.(-3) = 1 ,
mais pour 15 et 26 , je trouve pas u et v tel que 15.u + 26.v = 1
Mais on me demandera comment j'ai trouvé 2 et -3 , et u et v ( si je les trouves ) .
Merci davance à ceux qui voudrons bien m'aidé .

Bonsoir

Avec 7 et - 4 ?

Bonjour , merci de me répondre
15*(7) + 26*(-4) = 1
Mais comment on fait pour trouvé 7 et -4 ?

Bonjour

Tu utilises l'algorithme d'Euclide
17 = 1x11 + 6
11 = 1x6 + 5
6 = 1x5 + 1
Puis la remontée de l'algorithme d'Euclide
1 = 6 - 1x5 ; or 6 = 17 -1x11 et 5 = 11 - 1x6
1 = 17 - 1x11 - 1x11 + 1x(17-1x11)
= 2x17 - 3x11

Je te laisse chercher l'autre

Avec les divisions , je trouve
26 = 115 +11
15 = 111+4
11 = 24+3
4 = 13 + 1
Donc 1 = 4 - 1*3
Mais après je m'embrouille car il y a une égalité de plus que dans l'autre exemple .

Tu remplaces
3 par 11 -24
4 par 15 - 111
11 par 26 - 1*15

1 = 4-13
=15-111-1*(11-24)
=15-211+24
=15-2(26-115)+2(15-111)
=515-226+211 ?
il faut recommencer avec 11 ?

Oui tu remplaces le 11
Attention c'est -2*11

Oui , pardon
Donc :
1 = 515-226-211
= 515-226-2(26-115)
=715-426
Merci beaucoup .
Mais pour mon problème , il faut utilisé
17 (2) + 11(-3) = 1
ou 715-4*26 = 1 ?

Tu as démontré que 11 et 17 puis 15 et 26 étaient premier entre eux.
Tu dois trouver le triplet (a;b;x) = (16; 9 ; 251)
Y avait-il une autre question avant celle-ci ? ou est-ce l'énoncé complet de l'exercice ?

Non , on m'as pas donnée la réponse .
Juste conseillé d'utiliser Bezout .
Mais quel rapport avec les chiffres trouvés avant ?
Et comment on trouve 16 et 9 ?

Celle que tu dois utiliser est 7 ; -4 solutions de 15u + 26b = 1
car tu dois résoudre
15a - 26b = 6

15u + 26b = 1
Pourquoi b ?
C'est le b qu'on cherche ?

Une erreur de frappe c'est 15u + 26v = 1
Tu as trouvé u = 7 et v = -4

Cherche les solutions particulières de 15a - 26b = 6

157- 264 = 1
Pour trouver 6 , on multiple par 6 ?
1542 - 2624 = 6 ?

C'est presque ça.
Il faut tenir compte du moins
a = 6u et b = -6v
soit a = 42 et b = 24
Donc l'ensemble des solutions de 15a - 26b = 6 est .......

A compléter

(42 ; 24) ?

(46;24) est une solution particulière

L'ensemble des solutions : (42+26k ; 24+15k) avec k appartenant à Z
Il reste à écrire x
x = ....

x = (42+26k)*15 + 11
et x = (24+15k)*26 + 17
Mais on ne connait pas k

zora93
x = (42+26k)*15 + 11
et x = (24+15k)*26 + 17
Mais on ne connait pas k

Simplifie l'expression pour x (développe).
Tu as ainsi l'ensemble des solutions.
En prenant k = -1, tu retrouves la solution particulière que je t'ai indiqué.

x = 630 + 390k + 11 = 641 + 390k
et x = 624 + 390k + 17 = 641 + 390*k , c'est pareille
Et pour k = -1 , on trouve x = 641 - 390 = 251 .
Mais comment on sait qu'il faut prendre k = -1 ?

La question est : trouver trois entiers
a = ....
b = ....
x = .....

Les trois entiers dépendent de k car tu as une infinité de solutions.

Pour faire une vérification, tu donnes à k une valeur, j'ai choisi k = -1, mais tu peux prendre toute autre valeur.

a = 42+26k
b = 24+15k
x = 641 + 390*k

Mais si je choisi k = 2 , je trouve
a = 94
b = 54
x = 1421

Mais on me demande x compris entre 1 et 500 . je vois bien que pour k = -1 on trouve x = 251 , ça marche , mais comment être sur de choisir le bon k parmi toutes ?

Comme x = 641 + 390*k
et x compris entre 1 et 500,
il faut résoudre :
1 < 641 + 390k < 500

donc
-640 < 390*k < -141
-640/390 < k < -141/390
-1.6... < k < -0.3...
et k entier , donc k = -1 !
Merci beaucoup , c'était dificile

Tu as tout compris ?
C'est un devoir maison ?

C'est un exercice " de recherche" .
Mais je crois avoir compris .
Encore merci .