Dérivation et fonctions

Bonjour,
J'ai un problème avec un exo, et j'aimerais savoir si quelqu'un avait une piste ...
Voici l'énoncé :
Il faut "déterminer les dimensions d'un rectangle de 98m² qui a un périmètre minimal."
Le thème du chapitre est la dérivation et les fonctions.
Je sais que le périmètre d'un rectangle est 2L +2l. Faut il créer une fonction à partir de cette formule ?

Merci d'avance de votre aide

Bonjour,

Exprime le périmètre en fonction de la longueur du rectangle.

2L + 2l = 98
d'où L= 49-l
C'est bien ca ?

Non

le périmètre P = 2L + 2l et l'aire L x l = 98, soit l = ....
que tu remplaces dans le périmètre.

Merci
Donc l =98/L et on a
P = 2L + 2 * (98/L)
P = 2L + 196/L
P = ( 2L² + 196) / L
P = 2L +196
et si j'ai compris
P= 2L + 298
Donc l = 98 et L= 1
Et les dimensions minimales du périmètre du rectangle sont 1 et 98 donc
P = 21 +2*98
P =197 m
C'est bien ca ?

Seulement la partie suivante est juste.
"Donc l =98/L et on a
P = 2L + 2 * (98/L)
P = 2L + 196/L
P = ( 2L² + 196) / L"
Etudie les variations de P en fonction de L.

Ok mais je ne comprends pas, qu'entends tu par "étudie les variations de P en fonction de L" ?

Etudie les variations de la fonction f(x) = (2x²+196)/x

Je calcule delta pour le signe de 2x²+196
x1 = 98 et x2 =0 qui est une VI car f(x) est définie sur R*
Si x>0, alors f(x) est croissante / décroissante/ croissante
Si x<0, alors f(x) est décroissante/ croissante / décroissante

Mais pourquoi faut il étudier les variations de f( x) ?

Etudie la fonction f(x) = (2x²+196)/x
f est décroissante puis croissante, donc passe par un minimum dont tu dois trouver la valeur de x correspondante.
As tu fais les dérivées ?

Calcul de la dérivée
f(x) = (2x² +196) × 1/x
docn f'(x) = 4x * -1/x²
f'(x) = -4/x
Pouquoi f est elle seulement décroissante puis croissante ?

Attention
La dérivée de f x g n'est pas f' x g' ?? tu peux utiliser f/g

f(x) = (2x² +196) × 1/x
f'(x) = (4x*x-2x²-196)/x²
= ....

Je ne comprends pas comment comment tu développes ton f'(x), peux tu m'expliquer ?

C'est bon, j'ai compris.
f'(x) = (2x²-196) /x²
est ce que je peux écrire que f'(x) =2+196=198 ( en simplifiant par x² ?)

Bonjour,

f ' est ok, mais tu ne peux pas simplifier par x² qui n'est pas dans le terme "-196"

C'est vrai que c'est tentant

édit : Tu pourrais éventuellement écrire f ' sous la forme : f '(x) = 2 - (196/x²)

Si tu y trouves un intérêt.

f'(x) = (2x²-196) /x²
f'(x)=2(x²- 98)/x²

Factorise x²-98

x²-98 = x² -(√98)²
= (x-√98)*(x+√98)

Et maintenant que faire ? Je ne comprends toujours pas ...
Encore merci.

V 98 = 7V2

Tu cherches le signe de la dérivée pour x variant de 0 à +oo.

On a donc f'(x) = 2[ ( x-7√2)(x+7√2)] / x²
x²>0 donc f'(x) est du signe de 2[ ( x-7√2)(x+7√2)].
2>0, (x-7√2) <0 et (x+7√2) >0
Donc f('x) <0 sur 0 ; +∞ ?

le début est juste :
f'(x) = 2[ ( x-7√2)(x+7√2)] / x²
x²>0 donc f'(x) est du signe de 2[ ( x-7√2)(x+7√2)].
Pour x appartenant à ]0; 7V2[,
2>0, (x-7√2) <0 et (x+7√2) >0 donc f'(x) <0 fonction décroissante
Pour x appartenant à ]7V2 ; + oo[,
2>0 (x-7V2) > 0 et ......

et x +7√2 >0 donc f'(x) >0 fonction croissante
f'(x) est décroissante sur ]0;7√2[ et croissante sur ]7√2 ; +∞[
Il faut maintenant que je calcule le minimum en 7√2 avec la fonction
f(x) = (2x²+196)/x ?
Et ce minimum représente la longueur L, c'est bien ca ?
Ensuite je remplacerais dans L xl =98 et j'aurais trouver, grâce à toi, la longueur et la largeur minimale du périmètre ...
Meric beaucoup

Tu cherches les dimensions du rectangle, soit l et L.
Tu as trouvé L= 7V2, tu cherches l sachant que L*l = 98.

Pourquoi L = 7√2, je me suis un peu perdue, désolée ...
Si L= 7√2 alors on a
Ll =98
7√2 * l =98
l = 98/7√2
l=98√2/7*2
l=98√2/14
Comment simplifier plus ?

98 = 14*7
le périmètre P = ( 2L² + 196) / L
et on a étudié la fonction f définie par f(x) = (2x² + 196)/x
Donc x correspond à L.

Peux tu juste me dire comment tu trouves 14 et 7 par le calcul ?
Merci beaucoup de ton aide =D

Le 98 = 147 était pour te permettre de simplifier
l = 98/7√2
l=98√2/7*2
l=98√2/14
l = 7V2

Pour le périmètre minimal, tu trouves l = L = 7V2.

Ah d'accord, merci beaucoup de ton aide.
Bonnes vacances
Emtec

Bonnes Vacances

A+