Caractérisation vectorielle orthocentre, droite d'Euler (ex en rapp ac les vecteurs, trop compliqué)

Bonjour je suis en seconde et j'aimerais que vous m'aidiez pour mon devoir maison de maths

Voici l'exercice :
Droite d'Euler dans un triangle

ABC est un triangle et O le centre de son cercle circonscrit. A' est le milieu du segment [BC], B' celui de [CA] et C' celui de [AB].

A. Caractérisation vectorielle de l'orthocentre

On considére le point H défini par $OH⃗=OA⃗+OB⃗+OC⃗(1)\small \vec{OH} = \vec{OA} +\vec{OB} + \vec{OC}\quad (1)$

Justifier que $OB⃗+OC⃗=2OA′⃗\small \vec{OB} + \vec{OC} = 2\vec{OA'}$
Déduire de la relation (1) que $AH⃗=2OA′⃗\small \vec{AH} = 2\vec{OA'}$
Démontrer alors que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.
De la même manière, démontrer que la droite (BH) est perpendiculaire à la droite (AC).
Que représente le point H pour le triangle ABC ?

B. Droite d'Euler

G désigne le centre de gravité du triangle ABC.

En partant de l'égalité $GA⃗=−2GA′⃗\small \vec{GA} = -2\vec{GA'}$ , démontrer que : $3OG⃗=OA⃗+2OA′⃗\small 3 \vec{OG} = \vec{OA} + 2\vec{OA'}$
En déduire que $3OG⃗=OH⃗\small 3\vec{OG} = \vec{OH}$
En déduire l'alignement de O,G,H lorsque le triangle ABC n'est pas équilatéral.
Que peut-on dire des points O,G et H dans le cas où ABC est un triangle équilatéral?

J'arrive seulement a faire le dessin mais le reste je ne comprend pas ; j'espère que vous pourriez m'aidez.
Merci d'avance

Bonjour,

Pour tout point M on a $MA⃗,+,MB⃗,=,2MI⃗\vec {MA} ,+,\vec {MB}, =, 2\vec {MI}$ où I est le milieu de [AB]

Donc moi je dirais que ton énoncé de la première question devrait plutôt être :

$OB⃗,+,OC⃗,=,2OA′,⃗\vec {OB} ,+,\vec {OC}, =, 2\vec {OA',}$

Tu nous confirme le présence du A' et non du A dans cette question !

Je ne sais pas mais dans mon devoir maison que ma prof ma passé elle a bien ecrit : Justifier que →OB+→OC=2→OA

ps : Je ne sais toujours pas faire les vecteurs =S

pour afficher proprement des vecteurs, clique sur le bouton LaTeX ci-dessous, puis entre les deux balises, tape le code suivant : \vec{AB}

cela affiche $AB⃗\vec{AB}$ lorsque tu visualises l'aperçu du message.

Il me semble que $OB⃗,+,OC⃗,=,OD⃗\vec{OB},+,\vec{OC},= ,\vec{OD}$ qui n'a pas grand chose de commun avec $2OA⃗2\vec{OA}$

Ok merci quand même j'ai peut-être une idée OA et OB puis OC sont des rayon du cercle donc ils sont egaux . Je vais réfléchir de ce côté là

salut

c'est bien ce que dit zorro :
$OB⃗+OC⃗=2OA′⃗\vec{OB} + \vec{OC} = 2 \vec{OA'}$

Oui c'est vrai vous avez raison mais je ne comprend pas pk ma prof a mis $OB⃗+OC⃗=2OA⃗\vec{OB}+ \vec{OC}=2\vec{OA}$
je vais y réfléchir encore et encore

Tu ferais mieux de partir du principe qu'il y a une faute de frappe dans l'énoncé et faire la suite comme s'il y avait $OB⃗,+,OC⃗,=,2OA′⃗\vec{OB},+,\vec{OC},=,2\vec{OA'}$

Oui tu as raison , c'est ce que je vais faire .
Youpii , la questions 1 deja faite Et j'ai une petite idée pour la question 2
Merci ^^

Bonjour,
je viens de regarder mon DM et je me suis apperçu que en fait c'était bien A' ! ^^
Donc cela arrange tout mais avez vous une idée comment je pourrais justifier la question 1 et 2 ?

Merci de votre réponse d'avance

Ps: J'ai déjà repondu à la questions 5 le point H c'est l'orthocentre

re.

la question 1 est une simple propriété du parallélogramme.

la question 2 s'en déduit en changeant \vec{OA} de membre dans (1).

Re
Merci pour ton aide mais je n'ai pas compris la justification de la question 2 =S

ps: Comment fait - on pour supprimer des messages ?

Merci d'avance

Tu écris $OH⃗−OA⃗\small \vec{OH} - \vec{OA}$ dans la relation (1), puis tu utilises chasles et le résultat de la question 1).

ps : pourquoi veux-tu supprimer un message ?

Je voulais supprimer des messages car je penseais qu'a partir de 10 message , on supprimait la discussion ^^

Sinon je doit être super nul car je ne comprend toujours pas se que tu veux dire
Je fais OH-OA=OA+OB+OC ?
Je suis perdue =S
Il faut deduire que $AH⃗\vec{AH}$ = $2OA′⃗2\vec{OA'}$ avec la relation [1]

t'inquiète pas pour le nombre de messages !

alors oui, tu as un peu de mal...

donc tu as (1)

$OH⃗=OA⃗+OB⃗+OC⃗\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$

qui équivaut à

$OH⃗−OA⃗=OB⃗+OC⃗\vec{OH} - \vec{OA} = \vec{OB} + \vec{OC}$

or le premier membre est ... et le second membre est ...

tu sauras compléter je pense !

Oui le premier membre est $OH⃗−OA⃗\vec{OH} - \vec{OA}$ et le second membre est $OB⃗+OC⃗\vec{OB} + \vec{OC}$
Mais je ne vois pas trop le rapport , car dans l'equation il n'y a même pas AH.

Encore merci

ben dis donc... et en écrivant
$−OA⃗=AO⃗\small -\vec{OA} = \vec{AO}$
y a pas un petit coup de chasles qui se fait sentir ?

Ah oui!! J'ai compris ! C'est un miracle
Sa doit donner AH=OB + OC

Merci beaucoup , maitenant je vais m'occuper de la suite.

ps: J'ai terminé la partie A de l'exercice , j'en suis à la partie B.
Comment démontrer que $3OG⃗=OA⃗+2OA′⃗3\vec{OG}=\vec{OA}+2\vec{OA'}$ ?

Merci d'avance

Salut

introduis le point O dans les deux vecteurs de

$GA⃗=−2GA′⃗\vec{GA} = -2\vec{GA'}$
et change de membre.

Re.
J'ai fait : $GO⃗+OA⃗=−2GO⃗−2OA′⃗\vec{GO}+\vec{OA}=-2\vec{GO}-2\vec{OA'}$
aprés je ne sais pas quoi faire et je ne sais pas si c'est bon .
Ensuite j'ai repondu à la question 3,et 4.
La 2 est trop compliqué pour moi =S

oui c'est ça mais ensuite il faut que tu changes OA $→^\rightarrow$ et 2GO $→^\rightarrow$ de membre !

pour ce qui est de la question B2, il suffit que tu te serves des résultats de A2 et B1 : ce n'est pas si difficile, je t'assure.

J'en suis à $3GO⃗=−2OA′⃗−OA⃗3\vec{GO}=-2\vec{OA'}-\vec{OA}$ mais je ne sais pas comment continuer pour arriver à la bonne formule

Ps: J'ai reussi la question B2 , et tu avais raison elle étais trés simple

ben dis donc, les cecteurs, c'est pas ton fort ! alors :

$3GO⃗=−2OA′⃗−OA⃗3\vec{GO}=-2\vec{OA'}-\vec{OA}$

devient

$3OG⃗=2OA′⃗+OA⃗3\vec{OG}= 2\vec{OA'} + \vec{OA}$

et c'est bien ce qu'il fallait trouver.

Je te remercie , j'ai fini mon exercice =D
Merci beaucoup

ps: j'ai un autre exercice que j'ai presque terminé il me reste plus qu'une questions
c'est prouver que 2 point sont confondus mais je ne sais pas coment faire , je vais faire une nouvelle discussion pour cete question la.

Merci encore ^^