4. fonction + dérivation

fonction + dérivation

  • C

    Bonjour !

    Voilà je dois faire un exercice et je voudrais savoir si ma simplification pour f(x) est bonne :

    f(x)=x+1+x2+4xf(x)=x+1+\sqrt{x^2+4x}f(x)=x+1+x2+4x​

    DfD_fDf​=]-∞;-4]∪[0;+∞[

    je dois calculer les limites de f en ±∞
    mais je tombe sur une forme indéterminée j'ai donc utiliser l'expression conjuguée et je trouve:
    f(x)=4+1x1+4x−1f(x)=\frac{4+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}-1}f(x)=1+x4​​−14+x1​​

    et je voudrais savoir si c'est bon merci !

    Zauctore 1 réponse
  • Zauctore

    salut

    pour la limite de f en +∞, c'est tout simplement de la forme ∞+∞ qui n'est pas indéterminée.

    pour la limite en -∞, là ok il y a pb d'indétermination avec une forme ∞-∞.

    puisque tu veux passer par l'expression conjuguée, je te montre comment faire :

    f(x)=(x+1+x2+4x)(x+1−x2+4x)x+1−x2+4x =x2+2x+1−x2−4xx+1−x2+4x =1−2xx+1−x2+4x =x(1x−2)x(1+1x)−∣x∣1+4x =x(1x−2)x(1+1x+1+4x)f(x) = \frac{(x+1 + \sqrt{x^2 + 4x})(x+1 - \sqrt{x^2 + 4x})}{x+1 - \sqrt{x^2 + 4x}} \ = \frac{x^2 + 2x + 1 - x^2 - 4x}{x+1 - \sqrt{x^2 + 4x}} \ = \frac{1 - 2x}{x+1 - \sqrt{x^2 + 4x}} \ = \frac{x\left(\frac1x - 2\right)}{x\left(1+\frac1x\right) - |x|\sqrt{1 + \frac4x}} \ = \frac{x\left(\frac1x - 2\right)}{x\left(1+\frac1x +\sqrt{1 + \frac4x}\right)}f(x)=x+1−x2+4x​(x+1+x2+4x​)(x+1−x2+4x​)​ =x+1−x2+4x​x2+2x+1−x2−4x​ =x+1−x2+4x​1−2x​ =x(1+x1​)−∣x∣1+x4​​x(x1​−2)​ =x(1+x1​+1+x4​​)x(x1​−2)​

    tout ça pour trouver une limite en -∞ qui est finalement -1.

    L 1 réponse
  • L

    Salut
    f(x)=x+1+x²+4xf(x) = x+1+\sqrt{x²+4x}f(x)=x+1+x²+4x​
    f(x)=(x+1+x²+4x)(x+1−x²+4x)x+1−x²+4xf(x) = \frac{(x+1+\sqrt{x²+4x})(x+1-\sqrt{x²+4x})}{x+1-\sqrt{x²+4x}}f(x)=x+1−x²+4x​(x+1+x²+4x​)(x+1−x²+4x​)​
    f(x)=(x+1)²−(x²+4x)²x+1−x²+4xf(x) = \frac{(x+1)²-(\sqrt{x²+4x})²}{x+1-\sqrt{x²+4x}}f(x)=x+1−x²+4x​(x+1)²−(x²+4x​)²​
    f(x)=−2x+1x+1−x²+4xf(x)= \frac{-2x+1}{x+1-\sqrt{x²+4x}}f(x)=x+1−x²+4x​−2x+1​
    f(x)=x(−2+1x)x+1−x²(1+4x)f(x)= \frac{x(-2+\frac{1}{x})}{x+1-\sqrt{x²(1+\frac{4}{x})}}f(x)=x+1−x²(1+x4​)​x(−2+x1​)​
    f(x)=x(−2+1x)x+1−∣x∣1+4xf(x)= \frac{x(-2+\frac{1}{x})}{x+1-\left| x\right|\sqrt{1+\frac{4}{x}}}f(x)=x+1−∣x∣1+x4​​x(−2+x1​)​
    sur ] -∞;0[
    f(x)=x(−2+1x)x+1+x1+4xf(x)= \frac{x(-2+\frac{1}{x})}{x+1+x\sqrt{1+\frac{4}{x}}}f(x)=x+1+x1+x4​​x(−2+x1​)​
    f(x)=x(−2+1x)x(1+1x+1+4x)f(x)= \frac{x(-2+\frac{1}{x})}{x(1+\frac{1}{x}+\sqrt{1+\frac{4}{x})}}f(x)=x(1+x1​+1+x4​)​x(−2+x1​)​
    f(x)=−2+1x1+1x+1+4xf(x)= \frac{-2+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}+\sqrt{1+\frac{4}{x}}}f(x)=1+x1​+1+x4​​−2+x1​​

    Et voilà.
    j'avoue que les erreurs de calculs ne sont pas à exclure pour ce genre de limites avec des levages de formes indéterminées à ralonge.
    Enfin le calcul n'est pas terminer.
    Il faut encore calculer la limite en -∞. Normalement, tu trouves -1. Tu peux aussi vérifier à la calculette .
    Au fait les points d'interrogations sont des carrés

    L 1 réponse
  • L

    Apparemment, il y a plus rapide que moi.
    En même temps, je faisais d'autre choses. ceci explique cela

    C 1 réponse
  • C

    merci pour vos réponses 😃
    mais j'ai encore besoin de votre aide !!

    lim⁡x→0f(x)−f(0)x=lim⁡x→0x+1+x2+4x−1x  =lim⁡x→0x+x2+4xx=lim⁡x→0x+x1+4xx  =lim⁡x→01+1+4x=2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x+1+\sqrt{x^2+4x}-1}{x} \ \ =\lim_{x\rightarrow0}\frac{x+\sqrt{x^2+4x}}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x+x\sqrt{1+\frac{4}{x}}}{x} \ \ =\lim_{x\rightarrow0}1+\sqrt{1+\frac{4}{x}}=2limx→0​xf(x)−f(0)​=limx→0​xx+1+x2+4x​−1​  =limx→0​xx+x2+4x​​=limx→0​xx+x1+x4​​​  =limx→0​1+1+x4​​=2

    mais avec ma calculette je trouve 1 mais je vois pas l'erreur si vous l'a voyez dite le moi merci !

    J 1 réponse
  • J

    Salut.

    Je ne trouve ni comme ta calculette, ni comme toi : le x est au dénominateur sous la racine, donc ça diverge. 😄

    @+

    C 1 réponse
  • C

    Bonjour !!

    Voila j'ai encore un souci dans l'exercice on me demande de dire si f est dérivable en 0 et -4

    Donc en 0 elle ne l'est pas puisque lim⁡x→0=+∝\lim_{x\rightarrow 0}=+\proptolimx→0​=+∝

    En -4 je suis bloquée lim⁡x→−4f(x)−f(−4)x+4 =lim⁡x→−4x+1x2+4x\lim_{x\rightarrow -4}\frac{f(x)-f(-4)}{x+4} \ =\lim_{x\rightarrow -4}\frac{x+1}{\sqrt{x^2+4x}}limx→−4​x+4f(x)−f(−4)​ =limx→−4​x2+4x​x+1​

    Après simplification mais on dénominateur je trouve 0
    et je sais pas comment faire

    Merci pour votre aide

    Zauctore 1 réponse
  • Zauctore

    je refais les calculs pour être sûr ; sauf erreur je trouve ceci

    f(x)−f(−4)x+4=x+1+x2+4x+3x+4 =(x+4+x2+4x)(x+4−x2+4x)(x+4)(x+4−x2+4x) =x2+8x+16−x2−4x(x+4)(x+4−x2+4x) =4(x+4)(x+4)(x+4−x2+4x) =4x+4−x2+4x\frac{f(x)-f(-4)}{x+4} = \frac{x+1+\sqrt{x^2+4x}+3}{x+4} \ = \frac{(x+4 + \sqrt{x^2+4x})(x+4 - \sqrt{x^2+4x})}{(x+4)(x+4 - \sqrt{x^2+4x})} \ = \frac{x^2 + 8x + 16 - x^2 - 4x}{(x+4)(x+4 - \sqrt{x^2+4x})} \ = \frac{4(x+4)}{(x+4)(x+4 - \sqrt{x^2+4x})} \ = \frac{4}{x+4 - \sqrt{x^2+4x}}x+4f(x)−f(−4)​=x+4x+1+x2+4x​+3​ =(x+4)(x+4−x2+4x​)(x+4+x2+4x​)(x+4−x2+4x​)​ =(x+4)(x+4−x2+4x​)x2+8x+16−x2−4x​ =(x+4)(x+4−x2+4x​)4(x+4)​ =x+4−x2+4x​4​

    et à la limite, lorsque x tend vers -4, on trouve -∞ (ce qui est conforté par une représentation sur un grapheur).

    rq : ne néglige pas le détail des calculs.

    C 1 réponse
  • C

    Bonjour j'ai encore un problème sur cet exercice et j'ai essayer de le faire seule mais je comprend pas ton raisonnement Zauctore

    lim⁡x→−4x+4+x2+4x=0\lim_{x\rightarrow -4} x+4+\sqrt{x^2+4x}=0limx→−4​x+4+x2+4x​=0

    $\lim_{x\rightarrow -4} \frac{4}{0} \$

    c'est impossible donc je comprend pas commment tu as fait si tu pouvais m'expliquer ce serai sympa Merci 😃

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