fonctions et lieu géométrique


  • E

    Bonjour, j'ai un exercice qui me pose quelques problèmes, y aurait t'il quelqun qui aurait le courage de m'aider parmis vous?

    m est un réel et fm la fonction telle que fm(x)= me²x^xx-4x²
    On veut étudier la famiile des fonctions fm

    1. la figure (il y a une figure avec plusieurs courbes de Cfm pour des m différents) semble indiquer que les courbes Cfm n'ont pas de poins d'intersection

    a)démontrez que par un point M(x0M(x_0M(x0; y0y_0y0) donné il passe une seule et unique courbe Cfm

    J'ai réussi à démontrer cette question en prouvant que si deux courbes Cm1 et Cm2 passent par le point M alors m1=m2 donc qu'il s'agit de la même courbe. Mais je n'ai pas du tout compris la question b qui suit:

    b)démontrez que pour tout réel a fixé, l'ordonnée du point de Cfm d'abscisse a est une fonction croissante de m.

    Plus loin dans l'exercice on prouve que la dérivé f'm(x)=2e²$$^x$(m-4xe^{-2x})doncf′m(x)estdusignede) donc f'm(x) est du signe de )doncfm(x)estdusignedem-4xe^{-2x}$
    Il faut alors trouverles variations de Fm en fonction de m et je ne vois vraiment pas comment faire.

    voilà, l'exercice est encore long mais ce sont ces deux questions qui me bloquent. Si vous avez un petit indice pour avancer ce n'est pas de refus. Merci d'avance


  • kanial
    Modérateurs

    Salut elvirem,

    Pour la question b, ce que l'on te demande de démontrer en fait c'est que pour a fixé et m1m_1m1 < m2m_2m2 on a fm1f_{m1}fm1(a) ≤ fm2f_{m2}fm2(a).

    Pour la question qui suit, c'est totalement différent car on étudie les variations de fm suivant les valeurs de x (à m fixé). Pour ce faire tu peux donc déterminer le signe de f'm, mais ce signe dépend de la valeur de m fixée au départ, on te demande donc de donner les domaines de croissance et de décroissance de la fonction, en sachant que m apparaîtra sûrement dans les bornes de ces intervalles...


  • E

    c'est sympa de m'aider mais je comprend encore moins le b :frowning2: , tu dis:"pour a fixé et m1m_1m1<m2m_2m2 on a fm1f_{m1}fm1(a)<fm2f_{m2}fm2(a)."

    tu n'aurais pas fait une faute de frappe quelque part ? tu voulais peut être dire fm1(a)=fm2(a) ?


  • kanial
    Modérateurs

    oui excuse-moi il y a eu des conflits de notations dans ce que je t'avais écris, et je n'avais pas pris le temps de relire. Mais maintenant cela devrait s'éclaircir un peu !


  • E

    ah c'est bon j'ai compris le b mais la suite c'est toujours la galère ! Je ne sais pas trop comment partir..

    j'ai cherché le signe de 4xe−2x4xe^{-2x}4xe2x en faisant la dérivée de la fonction g(x)= 4xe−2x4xe^{-2x}4xe2x je trouve que g'(x)≥0 sur ]-∞;1/2] et g'(x)≤0 sur [1/2;+∞[
    donc g croissante avant 1/2 et décroissante après.
    Puis la lim de g en +∞ c'est 0 et g croissante avant 1/2 atteint g(x)=0 pour x=0, donc g(x)≥0 en [0;+∞[ et g(x)<0 en ]-∞;0[
    voilà une fois que j'ai tout ça je ne sais pas comment faire pour trouver le signe de m-g(x)...

    merci 🙂


  • kanial
    Modérateurs

    C'est presque ça en fait, sauf que la fonction qu'il faudrait étudier c'est g(x)=m−4xe−2xg(x)=m-4xe^{-2x}g(x)=m4xe2x. Il faudrait que tu calcules son minimum (normalement elle en a un), et différencier les cas où ce minimum est positif et où il est négatif. S'il est négatif, tu auras un intervalle où g est négatif mais tu ne pourras pas donner explicitement les bornes de cet intervalle...


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