exercice type probleme : étude d'une fraction rationnelle

Bonjour j'ai un autre exercice sur les dérivées ou la j'ai vraiment besoin d'aide car je n'arrive même pas faire le début qui dois paraitre simple pour chaque type exercice .

Voici l'énoncé

Soit f et g les fonctions définies sur R par

f(x) =
(x^5+x^4+x^3+2x-1
)/
(x^4+1
)

et g(x) =x+1

Le but de l'exercice est de comparer f(x) et g(x) suivant les valeurs de x.

On pose h(x)=f(x)-g(x)

Montrer que h(x)=
(x^3+x-2
)/
(x^4+1
)
Soit u la fonction définie sur R par u(x)=x^3+x-2
a. Chercher une solution évidente de l'équation u(x)=0
b. Étudier les variations de la fonction u
c. L'équation u(x) =0 a t-elle d'autres racines que celle obtenue en a ? pourquoi ?
d. En déduire , suivant les valeur du réel x, le signe de u(x) puis celui de h(x)
e. Comparer alors f et g.
interpréter graphiquement le résultat précédent a l'aider des courbes F et G

voila l'énoncé

j'ai ma petite idée pour la question 1 c'est de mettre au même dénominateur f et g puis réduire mais je trouver plusieurs exposant de x puissance et je ne trouve pas h.

NdZ : corrections de détail.

En effet, pour la question 1 tu dois mettre au même dénominateur :
g(x) = x+1
g(x) = $(x4+1)(x+1)x4+1\frac{(x^4+1)(x+1)}{x^4+1}$
g(x) = $x5+x4+x+1x4+1\frac{x^5+x^4+x+1}{x^4+1}$
h(x) = $(x5+x4+x3+2x−1)−(x5+x4+x+1)x4+1\frac{(x^5+x^4+x^3+2x-1)-(x^5+x^4+x+1)}{x^4+1}$
Il n'y a plus qu'à écrire le résultat.

2.a) Quand on te demande une solution évidente en général c'est 0, 1 ou -1. S'ils sont vraiment vicieux c'est 2 mais ça va rarement plus loin. Dans ce cas là :
$1^3+1-2=0$
b) Pour étudier les variations de la fonction il faut que tu justifie sa dérivabilité (c'est un polynôme donc c'est dérivable) puis que tu la dérive :
$du(x)dx=3x2+1\frac{du(x)}{dx}=3x^2+1$
Ensuite tu montre que ce polynôme n'admet pas de racines donc qu'il est toujours strictement positif donc que u est strictement croissante sur ℜ.

c) Pour montrer que u(x)=0 n'admet pas d'autres racines tu peux utiliser le théorème de la bijection (si tu l'as vu). Qualitativement, ta fonction est strictement croissante, elle passe une fois par 0 pour passer une autre fois par 0 il faudrait qu'elle redescende.
Sinon tu peux factoriser ton polynôme u(x) par la racine que tu as.
$u(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)$
puis tu développe et tu identifie les coefficients suivant les puissances de x. Sauf erreur tu as a=1, b=1 et c=2 ce qui donnera :
$u(x)=(x-1)(x^2+x+2)$
Et là tu peux montrer que le polynôme du second degré obtenu ne s'annule jamais.

d) u est strictement croissante et s'annule en 1 donc elle est négative avant 1 et positive après.
Pour le signe de h il ne reste plus qu'à étudier le signe du polynôme au dénominateur ce qui n'est pas très dur. En effet :
$x^4+1=(x^2)^2+1$
Un carré est positif, donc le carré d'un carré est positif et y rajouter 1 le rend strictement positif.

e) Comme h = f-g si h(x)>0 alors f(x)>g(x) et inversement.

Je te laisse faire l'interprétation graphique.

merci infiniment pour ton aide s321