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exercice type probleme : étude d'une fraction rationnelle |
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Envoyé: 27.10.2008, 12:23
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Voie lactée
enregistré depuis: sept.. 2008
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dernière visite: 29.01.09
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Bonjour j'ai un autre exercice sur les dérivées ou la j'ai vraiment besoin d'aide car je n'arrive même pas faire le début qui dois paraitre simple pour chaque type exercice .
Voici l'énoncé
Soit f et g les fonctions définies sur R par
f(x) = (x^5+x^4+x^3+2x-1)/(x^4+1)
et g(x) =x+1
Le but de l'exercice est de comparer f(x) et g(x) suivant les valeurs de x.
On pose h(x)=f(x)-g(x)
1. Montrer que h(x)=(x^3+x-2)/(x^4+1)
2. Soit u la fonction définie sur R par u(x)=x^3+x-2
a. Chercher une solution évidente de l'équation u(x)=0
b. Étudier les variations de la fonction u
c. L'équation u(x) =0 a t-elle d'autres racines que celle obtenue en a ? pourquoi ?
d. En déduire , suivant les valeur du réel x, le signe de u(x) puis celui de h(x)
e. Comparer alors f et g.
3. interpréter graphiquement le résultat précédent a l'aider des courbes F et G
voila l'énoncé
j'ai ma petite idée pour la question 1 c'est de mettre au même dénominateur f et g puis réduire mais je trouver plusieurs exposant de x puissance et je ne trouve pas h.
NdZ : corrections de détail.
modifié par : Zauctore, 27 Oct 2008 - 22:49
SOif d'apprendre ............
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Envoyé: 27.10.2008, 21:19
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Galaxie
enregistré depuis: oct.. 2008
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dernière visite: 16.03.10
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En effet, pour la question 1 tu dois mettre au même dénominateur :
g(x) = x+1
g(x) = (x+1)}{x^4+1} "\frac{(x^4+1)(x+1)}{x^4+1}")
g(x) = 
h(x) = -(x^5+x^4+x+1)}{x^4+1} "\frac{(x^5+x^4+x^3+2x-1)-(x^5+x^4+x+1)}{x^4+1}")
Il n'y a plus qu'à écrire le résultat.
2.a) Quand on te demande une solution évidente en général c'est 0, 1 ou -1. S'ils sont vraiment vicieux c'est 2 mais ça va rarement plus loin. Dans ce cas là :
b) Pour étudier les variations de la fonction il faut que tu justifie sa dérivabilité (c'est un polynôme donc c'est dérivable) puis que tu la dérive :
}{dx}=3x^2+1 "\frac{du(x)}{dx}=3x^2+1")
Ensuite tu montre que ce polynôme n'admet pas de racines donc qu'il est toujours strictement positif donc que u est strictement croissante sur ℜ.
c) Pour montrer que u(x)=0 n'admet pas d'autres racines tu peux utiliser le théorème de la bijection (si tu l'as vu). Qualitativement, ta fonction est strictement croissante, elle passe une fois par 0 pour passer une autre fois par 0 il faudrait qu'elle redescende.
Sinon tu peux factoriser ton polynôme u(x) par la racine que tu as.
=(x-1)(ax^2+bx+c) "u(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)")
puis tu développe et tu identifie les coefficients suivant les puissances de x. Sauf erreur tu as a=1, b=1 et c=2 ce qui donnera :
=(x-1)(x^2+x+2) "u(x)=(x-1)(x^2+x+2)")
Et là tu peux montrer que le polynôme du second degré obtenu ne s'annule jamais.
d) u est strictement croissante et s'annule en 1 donc elle est négative avant 1 et positive après.
Pour le signe de h il ne reste plus qu'à étudier le signe du polynôme au dénominateur ce qui n'est pas très dur. En effet :
^2+1 "x^4+1=(x^2)^2+1")
Un carré est positif, donc le carré d'un carré est positif et y rajouter 1 le rend strictement positif.
e) Comme h = f-g si h(x)>0 alors f(x)>g(x) et inversement.
3. Je te laisse faire l'interprétation graphique.
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Envoyé: 28.10.2008, 11:07
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Voie lactée
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merci infiniment pour ton aide s321
SOif d'apprendre ............
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