Exercice exponentielle

Bonjour à tous.
Je suis en terminale S et j'ai un DM de maths composer de 5 exercices à rendre demain.
Mais il y a un exercice sur les exponentielles sur lequel je bloke !

Voici l'énoncé :

f est la fonction définie sur R par :

f(x) = ex / (1 + ex)
Sa courbe représentative est représenté sur l'enoncé mais je ne vois pas comment je pourrais la montrer ici, en tout cas ce que je peut dire c'est qu'elle parait impaire.

Dans un repère orthonormal (O;i;j), C est la courbe représentant f. C' est l'image de C par la translation de vecteur -1/2 j.

questions :
a) démontrer que C' est la courbe représentative de la fonction
g : x -> 1/2 * (ex - 1/ex + 1).

b) Démontrer que 0 est centre de symétrie de C'

c) En déduire que le point A(0 ; 1/2) est centre de symétrie de C

Aide : b) Pour cela on prouve que pour tout réel de x, g(-x) = -g(x).
c) Appliquer la translation de vecteur 1/2 j au point O

Voilà tout. Merci d'avance de m'accorder un peu de votre temps