Bonjour, j'ai un DM à rendre pour demain et il ne me reste plus qu'une seule question.
Voilà l'énoncé:
On rappelle les trois définitions suivantes:
D1: Une fonction f est croissante sur un intervalle I de lorsque, pour tout réel a et tout réel b appartenant à I avec a ≤ b, f(a) ≤ f(b)
D2: Une fonction f est majorée par un réel M sur un intervalle I de lorsque pour tout réel x de I, f(x) ≤ M.
D3: Dire que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞ signifie que pour tout intervalle ]M ; +∞[, où M est un réel, contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand
Question:
Démontrer qu'une fonction f croissante et non majorée sur a pour limite +∞ en +∞
Voilà, ça fait quelques heures que je cogite là dessus mais aucune solution
Merci pour ta réponse
En gros, pour une démonstration à peu près potable:
Une fonction f non majorée prend des valeurs f(x) aussi grandes que l'on veut.
Soit M un nombre réel, I un intervalle de et M ∈ I.
Si la fonction f n'est pas majorée, alors f(x) ≥ M pour tout réel x de I suffisamment grand.
Si la fonction f est non majorée et croissante sur I, alors elle prend des valeurs f(x) aussi grandes que l'on veut pour des valeurs de x suffisamment grandes
Donc lim f = +∞
x→+∞
Ou alors, autre démonstration:
Soit M un nombre réel.
Si la fonction f n'est pas majorée, alors il existe au moins un réel x tel que f(x) > M.
Si la fonction f est croissante, alors toutes les valeurs de x telles que f(x) > M sont contenues dans l'intervalle ]M ; + ∞[.
Ainsi la fonction f tend vers + ∞ quand x tend vers + ∞.
Soit M un nombre réel.
Si la fonction f n'est pas majorée, alors il existe au moins un réel x tel que f(x) > M.
Si la fonction f est croissante, alors toutes les valeurs de x telles que f(x) > M sont contenues dans l'intervalle ]M ; + ∞[.
Ainsi la fonction f tend vers + ∞ quand x tend vers + ∞.
A ok. Le problème c'est que je doute que ma prof de maths accepte ce fameux "x-indice-zéro x0" étant donné qu'on n'est pas sensé l'avoir appris
Donc selon toi, dans ma deuxième démonstration, le truc qui pose problème c'est:
"Si la fonction f est croissante, alors toutes les valeurs de x telles que f(x) > M sont contenues dans l'intervalle ]M ; + ∞[."
Aurais-tu quelque chose à proposer ?
lorsque, pour tout réel a et tout réel b appartenant à I avec a ≤ b, f(a) ≤ f(b)
