Etude d'une suite homographique


  • A

    Bonjour.
    Je suis en prépa et je prépare mes khôlles de maths.
    J'ai trouvé un exercice typique mais deux qustions me posent encore problème.
    Je vous donne mon énoncé et je vous dit mes réponses après.
    merci d'avance
    adher01

    Soit f:mathbbRmathbb{R}mathbbRmathbbRmathbb{R}mathbbR la fonction définie par
    ∀n ∈ mathbbRmathbb{R}mathbbR

    f(x)=−x+12xf(x) = \frac{-x+1}{2x}f(x)=2xx+1
    1-etablir le tableau de variation de f. Etudier ses limites aux bornes de son domaine de définition.

    2- Montrer que f possède exactement deux points fixes, que l'on notera α et β

    3-Soit (u(u(u_n)<em>n)<em>n)<em>n la suite définie par u0u_0u0=2 et ∀n ∈ mathbbNmathbb{N}mathbbN , uuu{n+1}=f(un=f(u_n=f(un).

    a-Montrer que la suite (Un)<em>n(Un)<em>n(Un)<em>n est bien définie
    b- montrer que la suite $(vn){n∈$mathbb{N}$}$ définie par
    ∀n ∈ mathbbNmathbb{N}mathbbN , vn=un−alphaun−betavn = \frac{un-alpha}{un-beta}vn=unbetaunalpha
    est une suite géométrique.

    c- en déduire une expression de vn en fonction de n , puis celle de un en fonction de n.

    résolution:

    1-Tout d'abord on calcule la dérivée : f′(x)=−1(2x)2f'(x) = \frac{-1}{(2x)^2}f(x)=(2x)21 donc en étudiant cette fonction on observe que sur son domaine de définition c'est à dire [0;+∞[ que la fonctionest strictement décroissante.
    on calcule donc les limites en 0+0_+0+ et en +∞
    on obtient en 0+0_+0+ lim= +∞ et en +∞ lim = -1/2.

    2-les points fixe sont en faite le résulta d'un delta.
    d'ou α=-1 et β=1/2.

    3- c'est la que tout se complique.
    a- j'ai du mal à prouver que la suite est définie.
    soit df = mathbbRmathbb{R}mathbbR* on calcule u0+1u_{0+1}u0+1=0 et u1+1u_{1+1}u1+1=0 donc la suite n'est pas défénie pour ces deux valeurs. pourtant je croyait que toute fonctions homographiques étaient définies sur mathbbRmathbb{R}mathbbR donc la je suis bloquée.

    b- idem que a-

    c- je pense que en fonction de la réponse de b- j'utiliserai le calcule d'une équation caractéristique puis la création de deux suites géométrique et enfin la création d'un système afin de trouver les expressions.

    Si jamais vous arrivez à comprendre mes launes je reste à votre disposition.
    merci d'avnce et bon week end .
    adher01 😉


  • Zauctore

    salut taupine

    1° une fonction homographique ne saurait en aucun cas être définie sur R comme tu le pensais, puisqu'il s'agit tout bonnement d'un "décalage" de x → 1/x.
    et tu as ax+bcx+d\frac{ax+b}{cx+d}cx+dax+b non défini lorsque x=−d/cx = -d/cx=d/c.

    2° montrer que la suite est bien définie revient ici à établir par réccurence que unu_nun n'est jamais nul. en effet, il faut pouvoir lui appliquer la fonction f pour obtenir le terme suivant. tu procéderas par récurrence sans doute.

    3° montrer que vnv_nvn est géométrique est juste lourdement calculatoire tu pars de vn+1v_{n+1}vn+1 et tu remplaces... après tu calcules furieusement pour faire apparaître vnv_nvn.

    4° pour c) tu te serviras évidemment de b)

    je te souhaite bien du courage - mais ça en vaut la peine !

    rq : pour saisir les indice, le code latex est u_n ou u_{n+1} et pour les alpha, beta, c'est \alpha ou \beta


  • Zauctore

    ah oui j'oubliais ! comme il est préférable d'avoir une idée de la raison de vnv_nvn, je te suggère d'en calculer les premiers termes pour la déterminer ! mais attention, ensuite, il faut prouver qu'elle convient pour tout n.


  • A

    Merci Zautore !! En plus de m'aider à résoudre mon exercice tu me motives!!! J'éspère que sa en vaut la peine parce que c'est vrai que entre le travail fourni en prépa et celui au lycée il y a un sacré décalage!! Mais bon si l'effort mérite une belle récompense sa en vaut peut être la,peine !!! 😉

    J'ai essayer de faire par récurence j'arriver à le démontrer mais a récurence me semble soupsonneuse. Je vous la montre:

    Montrer que UnU_nUn est bien définie revient à prouvre que ∀n UnU_nUn≠0.

    Nommons Pn la proposition "UnU_nUn ≠0 "
    Au rang n=0 U0U_0U0=2 donc P0 est vraie.

    Supposons vrai au rang n , donc Pn vraie.
    Supposons vrai au rang n+1 , donc Pn+1 vraie.

    Montrons vrai au rang n+2.
    un+2=−un+1+12un+1u_{n+2} = \frac{-u_{n+1}+1}{2u_{n+1}}un+2=2un+1un+1+1
    un+2=(−un+2un+12unu_{n+2} = (\frac{-u_n+2u_n+1}{2u_n}un+2=(2unun+2un+1)(2un−2un−2)( \frac{2u_n}{-2u_n-2})(2un22un)

    un+2=−1/2u_{n+2} = -1/2un+2=1/2

    Donc Pn+2 est vraie
    Donc Pn+1 et Pn sont vraie.

    Donc voila ma récurence. Est elle ,selon vous, valable?

    adher01


  • Zauctore

    re. (j'ai été long)

    on reviendra plus tard sur cette question "la suite (u_n) est bien définie" si tu veux bien. en attendant, voici ce que j'ai rédigé au sujet de la partie calculatoire dont j'ai parlé au début.

    http://images.imagehotel.net/ubreui3pct.png

    grr : "qu'un
    seulpoint fixe"

    nb : oui, ça en vaut vraiment la peine !


  • A

    Merci beaucoup!!!
    Je crois que j'ai pas trop mal compris la technique.
    Je vais la refaire deux, trois fois et se sera top.
    Merci


  • Zauctore

    oui : travaille d'abord avec ta suite homog avec des nombres partout (-x+1)/(2x), puis essaie de refaire les calculs en toute généralité, avec des a, b, c, et d.

    on reparle plus tard du 1/


  • Zauctore

    salut adher01
    je suis pas revenu hier, mais tu nous donneras quand même des nouvelles de la question 3a) ?
    ça peut être intéressant de compléter ce fil.
    merci


  • A

    ≠Enfaite je me suis apercue que ce que je t'avais donné pour la 3-a était faux , j'avais fait une erreur de signe. Un+2U_{n+2}Un+2≠1/2.


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