ln et valeur absolue

bonjour à tous,
je viens de reprendre les cours et j'ai beaucoup de mal à étudier cette fonction et notamment son domaine de définition:
ln I x-1 I + x
j'ai du mal pour le domaine à cause de Valeur absolue, j'ai trouvé ]1;+ infini[
la question est: étudier cetter fonction: domaine, comportement aux bords du domaine, continuité, dérivabilité, variations, tracé.
est-ce que vous pouvez m'aider ?
merci beaucoup

bonjour,

La valeur absolue est là pour que le domaine de définition soit $mathbb{R}$ privé de 1.

En effet pour tout X de $mathbb{R}$ , on a |X| ≥ 0

donc tout x de $mathbb{R}$ , on a |x - 1| ≥ 0

Or la fonction ln est définie sur $$mathbb{R}$^{+ *}$ donc , donc le domaine de définition de f est .....

bonjour et merci de ta réponse
le domaine est ]-∞;1[U]1; +∞[ ?

Oui . Tu sais faire la suite ?

g bcp de mal en maths, et une étude de fonction complete c'est long
je vais essayer de réflechir par moi meme mais j'aimerais que tu me guides ?

comportement aux bords du domaine = études des limites de f(x) quand :

x tend vers -∞

x tend vers 1 en étant inférieur à 1

x tend vers 1 en étant supérieur à 1

x tend vers +∞

lorsque je fais les limites la VA me gène -> dois-je en tenir compte ?

Oui il faut regarder si (x - 1) est positif ou non

si x - 1 > 0 , alors |x - 1| = x - 1

si x - 1 < 0 , alors |x - 1| = -x + 1

j'y arrive pas

tu es la ???

Salut

(je prends la suite de Zorro temporairement)

il faut absolument simplifier l'expression contenant des valeurs absolues

tu cherches la limite de ln|x-1| + x, par exemple en +∞ ; or au voisinage de +∞ on peut supposer x >1, donc |x - 1| = x - 1
le pb revient donc à trouver
$ln⁡(x−1)+x\lim_{x\to+\infty} \ \ln (x-1) + x$
et ainsi de suite.

salut !
ok donc on a:
en -inf, la fonction tend vers -inf
en 1-, vers -inf
en 1+, vers -inf
en +inf, vers +inf

c'est sa ?

tu as prouvé que $ln⁡(1−x)+x=?−∞\lim_{x\to-\infty} \ \ln(1-x) + x \stackrel{?}{=}-\infty$

tu veux dire koi par prouver ?

comment as-tu obtenu cette limite ? est-ce une évidence ? une lecture sur la calculatrice ? rq : ça dépend du niveau auquel on se place

j'ai posé u=1-x

et donc tu as une forme "∞-∞". no prob ?

sinon tu as compris le principe ? par domaine, tu peux simplifier l'expression de ta fonction et mener les calculs sans valeur absolue (à condition de modifier qqch n'est-ce pas).

alors la je suis perdu !
en fait j'ai posé dès le début u=1-x
donc u--> + inf
d'après le cours u-lnu -->+inf donc lnu-u --> -inf
et a fortiori lnu-u+1 -->-inf

il n'y a pas de 'oo-oo'

attends, en oubliant les u :
$ln⁡(1−x)=+∞\lim_{x\to-\infty} \ \ln(1 - x) = + \infty$
et
$x=−∞\lim_{x\to -\infty} \ x = - \infty$ , non ?

on doit dire que x l'emporte sur le ln
mais sa marche avec les u
bref j'ai vraiment besoin d'aide !
il faut que je fasse l'étude complète de la fonction:
ln[x-1]+x
j'ai déja fait le domaine: ]-∞;1[U]1;+∞[
il faut que je fasse quoi maintenat ?
continuité ou dérivabilité ? est-elle continue et dérivable partout ?
olala je suis perduuuuuuuuu

tu es pas la ?

deux secondes

continue et dérivable partout sur son domaine de déf = R-{1}.

après tu dois étudier ses variations : par intervalle trouve l'expression de la fonction et éventuellement ses variations ; sinon trouve l'expression de la dérivée par intervalle.

alors la prochaine étape c'est:
f= ln[x-1]+x
"f est continue sur ]-inf ; 1[U]1 ; +inf[ en tant que somme et composée de telles fonctions"
puis: "je calcule la dérivée qui est égale à 1 + 1/(x-1) "

est-ce que c'est la bonne démarché, yat-il des fautes ?

f(x) n'est pas toujours égale à ln(x - 1) + x, cela dépend des intervalles considérés.

c'est la fonction de l'énoncé, il est pas là le problème.

tu confonds |, [ et ( ou bien ?

en fait mes [] étaient des VA tu as raison désolé.

la dérivée est égale à 1 + 1/(x-1)

0 sur ]1 ; +inf[ donc f est croissante
<0 sur ]-inf ; 1[ donc f est décroissante
je peux tracer le tbl de variation

c'est tout bon ?

sur ]1 , +∞[ tu as f(x) = ln(x - 1) + x

alors que sur ]-∞ , 1[ tu as f(x) = ln(1 - x) + x

tu auras sans doute deux expressions pour la dérivée, selon l'intervalle.

on me demande de construire la courbe

je tiens aussi a te remercier pour ton aide

oui merci, il y aurait donc deux dérivées à calculer

en quelque sorte.

1° sur ]1 , +∞[ tu as f(x) = ln(x - 1) + x
donc f'(x) =

2° sur ]-∞ , 1[ tu as f(x) = ln(1 - x) + x
donc f'(x) =

1° sur ]1 , +∞[ tu as f(x) = ln(x - 1) + x
donc f'(x) = (-x)/(1-x)

2° sur ]-∞ , 1[ tu as f(x) = ln(1 - x) + x
donc f'(x) = x/(x-1)

c'est ça ?

la première dérivée est <0
la seconde dérivée est >0

c'est ça ?

c'est l'inverse dans tes expressions pour 1° et 2° mais heureusement c'est sans conséquence.

dérivée >0 sur ]1 ; +∞[

il y a qqch avec 0 sur ]-∞ ; 1[ non ? (tableau de signes)

tu es la ?

c bon j'ai compris.
maintenant j'ai fn ' (x) = ∑ x^k-1 (de 1 à n) + 1/(x-1)
il faut que j'étudie ses variations, tu peux me guider stp ?

merci

tu m'as oublié ???

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