Math forum
Les maths ont leur forum !
Les Cours Thierry
Cours de mathématiques et soutien scolaire par le webmaster de Math foru'
RUBRIQUES

 
Cours & Math-fiches

 
Math foru' sur Facebook


 
Rechercher dans les forums Derniers messages S'inscrire pour poster des messages S'inscrire pour poster des messages
vers le sujet précédent vers le sujet suivant
Modéré par: mtschoon, Thierry, Noemi
Fin 

Compléter les carrés (Algo. de Gauss)

  - catégorie non trouvée dans : Supérieur
Envoyé: 25.04.2008, 09:06

Psychosmose

enregistré depuis: avril. 2008
Messages: 2

Status: hors ligne
dernière visite: 25.04.08
Bonjour à tous,

Je suis nouveau sur le forum, et par ailleurs je ne sais pas si ce post à bien sa place dans la section "supérieur. Peut être devrait-il être dans "lycée".

Cela dit je suis en L2 Physique, et en cours de math on a vu l'algorithme de Gauss, permettant de trouver une base q-orthogonale d'un espace vectoriel V, pour une forme quadratique q donnée.

On ne nous a pas démontré la validité de cet algorithme car cela nécessite parait-il la notion d'espace dual, qui est grosso modo hors de notre programme.

Bref, mon problème est qu'il faut en premiere étape compléter les carrés de la forme quadratique q, et que ça ne me parait pas évident du tout.

Un exemple simplissime du cours et le suivant :

Soit .
Soit tel que



q est donc bien une forme quadratique.

Pour appliquer l'algorithme de gauss à q, il faut compléter les carrés.
Ce qui donne prmièrement :



Jusque là, ça va... ça passe, ça va que c'est l'exemple le plus simple possible.
Par contre, le passage de la 3eme à la 4eme ligne du bloc suivant me pose un sacré problème. Bien sûr, en développant en partant de la ligne 4 on aboutit bien à la ligne 3, mais je ne comprend pas le raisonnement qu'il faut avoir pour faire le passage dans le sens qui nous interresse:

On a :


Finalement on obtient donc la forme quadratique avec les carrés complétés, comme souhaité.
Mais je n'aurais jammais pu le faire moi même !
Comme je l'ai dit, le pire est le passage de la ligne 3 à la ligne 4 du bloc précédent. D'ailleur, le passage de la première à la seconde ligne de ce même bloc ne me pose pas de problème technique, mais il y plusieurs façon de factoriser, et je ne saurai comment décider laquelle est celle qui convient pour converger vers une somme de carrés.

Pouvez-vous me donner un coup de main ?

Merci beaucoup par avance.


Psychosmose :
Web : http://psychosmose.free.fr
Blog : http://psychosmose.blogspot.com

Top  Accueil
 
Envoyé: 25.04.2008, 11:25

Modérateur
kanial

enregistré depuis: avril. 2006
Messages: 1728

Status: hors ligne
dernière visite: 09.09.15
Salut psychosmose,

Pour ton passage délicat, il existe en fait une formule qui est :
4ab=(a+b)²-(a-b)² qui provient directement de la différence des développements de (a+b)² et (a-b)².

Mais je ne vois pas du tout quel but tu poursuis, qu'enteds-tu par "compléter les carrés" et comment cela te permet-il de trouver une base q-orthogonale ? Peut-être pourrais-tu nous détailler un peu cet algorithme ...

Quant à poster dans le forum supérieur, tu fais bien, les histoires d'espaces vecoriels, de bases et de formes quadratiques au lycée ils sont pas tout à fait au courant...


L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]
Top 
Envoyé: 25.04.2008, 13:28

Psychosmose

enregistré depuis: avril. 2008
Messages: 2

Status: hors ligne
dernière visite: 25.04.08
Merci beaucoup raycage !
C'était si simple !

Comme tu me le demande, je vais préciser le but de tout ça.
Premièrement, ce que j'entends par "compléter les carré" et de transformer l'expression d'une forme quadratique en somme de carrés (avec eventuellement un coefficient constant).

Ici on n'y arrive donc car on part de

pour arriver finalement à


Ensuite, l'algorithme de Gauss propose de suivre les étapes suivantes :
On pose

la matrice des coeficients devant chaque variable (à l'interrieur des carrés).

Si n'est pas inversible, on la complète en une matrice inversible .
Ici, est inversible, on a donc .

On calcule alors la matrice inverse de :


Et il se trouve que les colonnes de cette matrice forment les vecteurs d'une base q-orthogonale .

La matrice représentative de dans la base est alors donnée par la matrice diagonale formée par les coeficients devant chaque carré de la forme (dont on a précédement "complété les carrés"), c'est a dire ici :


Voili, voilou. Ca répond à ta demande de précision ?
Il est clair que cet algorithme est très puissant !
Comme je l'ai mentionné, je ne connais pas la démonstration, je ne l'ai donc pas "compris". Mais je comprend son utilité icon_wink.

Si quelqu'un peut le démontrer je suis preneur. Même si je ne peu pas garantir que je comprendrai du premier coup.



modifié par : Psychosmose, 25 Avr 2008 - 13:37


Psychosmose :
Web : http://psychosmose.free.fr
Blog : http://psychosmose.blogspot.com

Top  Accueil
Envoyé: 25.04.2008, 15:13

Modérateur
kanial

enregistré depuis: avril. 2006
Messages: 1728

Status: hors ligne
dernière visite: 09.09.15
Merci pour ces explications.

Je vais me tenter à une explication rapide de quelques points, je ne sais pas si cela t'éclairera beaucoup mais bon ce sera déjà ça...

Ce qui peut être remarqué rapidement c'est que :
q(u)=U*u*D*t(U*u) où D est une matrice diagonale.
(je note u pour la matrice colonne des coordonnées de u)

Du coup en interprétant U comme une matrice de changement de base (dans le cas où elle est inversible) : c'est la matrice de la base canonique dans une nouvelle base notée v (c'est pour cela que l'on s'intéresse à son inverse qui donne donc la base v exprimée dans la base canonique).

Et dans cette base v, on a q(u)=u*D*tu=tu*D*u puisque D est diagonale et qu'il s'agit d'un scalaire.
Ce qui montre que D est la matrice de q dans la base v.

Par contre, pourquoi la base v est-elle q-orthogonale ça je n'ai sais rien encore, mais ça viendra


L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]
Top 


Boîte de connexion

 Bienvenue invité
Inscris-toi c'est gratuit !



Rejoins-nous afin de poser tes questions dans les forums de Math foru' :

 Crée ton compte
 Connexion :
Pseudo :


Mot de passe :


Retenir


Identifiants perdus ?
Membres
Dernier Nouveaux aujourd'hui0
Dernier Nouveaux hier1
Dernier Total13136
Dernier Dernier
Sandradaou
 
Liens commerciaux