Barycentres et fonctions

Bonjour à tous,
J’ai un exercice très long et je vous prie de m’en excuser à l’avance, mais j’ai quand même réussi à en faire une bonne moitié. Néanmoins je vous le livre en entier pour une meilleure compréhension.
Merci par avance pour toute l’aide que vous pourrez me fournir.

Dans l'espace, on considère un tétraèdre ABCD

1° Construire le barycentre I du système:
{ (A;1) (B;1) (C;2) }

2° m est un nombre réel
On désigne par G le barycentre du système:
{ (A;m) (B;m) (C;2m) (D;(m-2)^2 ) }

a) justifier l'existence de G pour toute valeur de m.

b) montrer que pour tour réel m la relation:

VecteurDG = 4m/(m^2 + 4) vecteurDI

3° la fonction f est définie sur R, par:
f(x) = 4x/(x^2+4)
a) étudier les variations de f sur R

b) Déterminer ses limites en + infini et – infini

c)Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormal

d) Quelles sont les valeurs prises par f(x) lorsque x décrit l’ensemble R ?

4° Quel est l’ensemble des barycentres G lorsque m décrit R ?

Je sais faire le 1°et le 3° a), b) et c). Pour le 2° a) et b), le 3° d) et le 4° je cale. En fait je crois que je comprends mal les questions.

Je viens de réussir à faire le 2°a) et b). Mais je ne sais toujours pas pour le 3° d) et le 4°. En fait je ne comprends rien aux questions.

Je me demande si pour la 3° d) il ne faut pas dire :
Lorsque x décrit l'ensemble R, les valeurs prises par f(x) sont comprises dans l'intervalle [-1;1].

Si quelqu'un veut bien me le confirmer s'il vous plait et surtout aussi m'aider pour la question 4°.

Bonjour,

Le tableau des variations de la fonction f doit te permettre de conclure que

-1 ≤ f(x) ≤ 1 pour tout x de $mathbb{R}$

et donc pour tout m , on a - 1 ≤ $4m/(m^{2 }$ + 4) ≤ 1

Donc où pourrait bien être le point G vérifiant :

$DG→DG^\rightarrow$ = $4m/(m^2$ + 4) $DI→DI^\rightarrow$

Désolée, je ne comprends pas bien

Pourquoi dans - 1 ≤ 4m/(m2 + 4) ≤ 1 on remplace les x par des m?

parce que m et x sont des réels quelconques ; on aurait pu les appeler y ou a ou b ou z

Donc, si on sait que pour tout réel x on a :

-1 ≤ $4x/(x^2$ +4) ≤ 1

on a donc aussi pour tout réel m : -1 ≤ $4m/(m^2$ +4) ≤ 1

D'accord, ça j'ai compris, mais ensuite je ne vois pas

Donc ça ferait :

1 ≤ 4m/(m2 + 4) ≤ 1
DG = 4m/(m2 + 4) DI
-DI ≤ DG ≤ DI

C'est à ça que je devait arriver ?
Et j'en concluerais G=I ?

Excusez-moi, quelqu'un pourrait-il me dire si c'est juste ?
Merci d'avance

Salut prisca,

Citation

1 ≤ 4m/(m2 + 4) ≤ 1
DG = 4m/(m2 + 4) DI
-DI ≤ DG ≤ DI

Il y a deux possibilités, soit quand tu notes DG et DI tu penses aux vecteurs $dg⃗\vec{dg}$ et $di⃗\vec{di}$ , dans ce cas ce que tu écris est faux car les inégalités enre vecteurs ça ne veut rien dire...
Soit tu notes DG et DI pour les longueurs DG et DI (ce qui est la notation normale, mais bon les vecteurs perdent souvent leur flèche) dans ce cas ton égalité : DG = 4m/(m2 + 4) DI provient de l'égalité vectorielle qui a la même tête avec des flèches $DG^→$ = 4m/(m² + 4) $DI^→$ ) dans laquelle tu es passée à la norme, mais tu as oublié de mettre des valeurs absolue autour de 4m/(m² + 4) dans ce cas (sinon on pourrait avoir des distances négatives...).

Tu as fait un dessin pour mieux visualiser ? Comment peux-tu placer le point G dessus pour qu'il respecte la relation $DG^→$ = 4m/(m² + 4) $DI^→$ ?
Si tu ne vois toujours pas, essaie de prendre quelques valeurs particulières de m (-1, 0, 1 ...).