Problème en lien avec suites .
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Aadher01 dernière édition par
Bonjour.
J'ai trouvé un exercice avec des suites cependant je n'arrive ni à le résoudre ni même à comprendre l'énoncé, je vous le donne ci dessous si vous arriver à décrypter l'énoncé je suis preneuse.
voili voilou.
adher011-Démontrer que pour tout n εmathbbNmathbb{N}mathbbN*: ∑k=1nk2\sum_{k=1}^{n} {k^2}∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}6n(n+1)(2n+1).
2-Soit (un)la suite définie sur mathbbNmathbb{N}mathbbN par u0u_0u0=0 et uuu{n+1}=un=u_n=un+n
a-démontrer par récurence, que pour tout n ≥2: unu_nun=(n2){n\choose 2}(2n).
b-exprimer, en fonction de n, la somme : SnS_nSn=∑</em>k=0nuk\sum</em>{k=0}^{n} {u_{k}}∑</em>k=0nuk.
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Salut adher01,
Qu'est-ce que tu ne comprends pas exactement dans l'énoncé ?
Le 1 se fait par récurrence. Le a) du 2 également. Pour le b) du 2 il faut s'aider d'une formule célèbre...
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Aadher01 dernière édition par
Bonjour en faite c'est le 1 que je ne comprend pas car je ne voit pas comment faire sans aucunes expression de la suite..ce que je veux par la c('est que on a aucune formule pour la suite UnU_nUn.on a que la forme à obtenir. Je ne crois pas que je suis très claire désolé.
adher01
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calculer a, = ,∑k=1k=n,k2\text{ a, = ,} \sum_{k=1}^{k=n}, {k^{2}} a, = ,∑k=1k=n,k2 c'est calculer la somme des k2{k^{2}}k2 en faisant varier k de la valeur 1 à la valeur n
C'est à dire que a, =, 12,+,22,+,32,+, ..... ,+,n2\text{ a, =, } 1^2, +, 2^2 ,+ ,3^2 ,+, \text{ ..... } ,+, n^2 a, =, 12,+,22,+,32,+, ..... ,+,n2
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Aadher01 dernière édition par
Donc si je comprend bien l'expression de k est n²?
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Dans l'expression a, = ,∑k=1k=n,k2\text{ a, = ,} \sum_{k=1}^{k=n}, {k^{2}} a, = ,∑k=1k=n,k2
k = 1 et k = n signifient que k varie de la valeur 1 à la valeur n ;
donc k vaut 1 puis 2 puis 3 puis .... jusqu'à n
et ∑k=1k=n,k2\sum_{k=1}^{k=n}, {k^{2}}∑k=1k=n,k2 signifie qu'on fait la somme des carrés de k pour le valeurs ci-dessus.
Donc A = 121^212 + 222^222 + 323^232 + ...... + n2n^2n2
LA récurrence est une bonne méthode de démonstration.
On vérifie que pour n = 1, la relation est vérifiée.
On suppose que c'est vrai au rang n . Et on cherche à démontrer que c'est vrai au rang n+1
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Non, k est une variable muette que l'on fait varier de 1 à n.
Je prends un autre exemple. Tu as déjà dû voir ce que faisait la somme des termes d'une suite arithmétique, par exemple si je prends la suite UnU_nUn=n et que je te demande de calculer UUU0+U1+U_1+U1+...+Un+U_n+Un que me répondrais-tu ?
Et bien UUU0+U1+U_1+U1+...+Un+U_n+Un=∑</em>k=1k=n,u</em>k\sum</em>{k=1}^{k=n}, {u</em>{k}}∑</em>k=1k=n,u</em>k = ∑k=1k=n,k\sum_{k=1}^{k=n}, {k}∑k=1k=n,kPour ta question c'est le même principe, si tu veux tu peux noter VnV_nVn=n² et ce que tu cherches à montrer c'est que la somme des termes de cette suite est égale à n(n+1)(2n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}6n(n+1)(2n+1), donc que VVV_0+V1+V_1+V1+...+Vn+V_n+Vn=n(n+1)(2n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}6n(n+1)(2n+1).
Est-ce plus clair ?
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Aadher01 dernière édition par
la somme d'une suite arithmétique donne: n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}2n(n+1).
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Ceci est très mal dit ....
La somme des n premiers entiers est égale au nombre que tu as écrit.
La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique (Un(U_n(Un) de premier terme U0U_0U0 et de raison r est
sn,=,∑p=1p=n,ups_n, =,\sum_{p=1}^{p=n} , {u_{p}}sn,=,∑p=1p=n,up
sn,=,u0,+,u1,+,u2,+,.....+,uns_n, =,u_{0}, +,u_{1}, +,u_{2}, +, ..... +, u_{n}sn,=,u0,+,u1,+,u2,+,.....+,un
Or u1,=,u0,+,1ru_1,=,u_0,+,1ru1,=,u0,+,1r
Or u2,=,u0,+,2ru_2,=,u_0,+,2ru2,=,u0,+,2r
....Or un,=,u0,+,nru_n,=,u_0,+,nrun,=,u0,+,nr
DOnc sn,=,u0,+,u0,+,1r,+,u0,+,2r,+,.....,+,u0,+,nrs_n,=,u_0,+,u_0,+,1r,+,u_0,+,2r ,+,..... ,+,u_0,+,nrsn,=,u0,+,u0,+,1r,+,u0,+,2r,+,.....,+,u0,+,nr
Il reste à compter combien il y a de U0U_0U0
Et dans 1r + 2r + 3r + ...... = r (1 + 2 + 3 + .... + n ) = .....