Bonjour,
Parmi plusieurs exercices sur les fonctions, je cale sur celui-ci :
il faut démontrer le sens de variation de la fonction f(x)=x² - x.
Dans le premier chapitre, j'ai démontré que x² - x = (x- 1/2)² - 1/4.
C'est facile. Mais après, ils me demandent d'étudier les variations sur [0;+∞[ de la fonction x → x² - x. Et là, je cale...
Merci de votre aide.
PS : dernière question, existe-t-il un site où l'on peut visualiser des fonctions mathématiques que l'on tape. Ma calculatrice ne le permet pas.
Salut dauphin,
Il faut en fait que tu voies ta fonction comme une composée de fonctions dont tu connais les sens de variations :
f:x->x-1/2 est ... sur ...
g:x->x² est ... sur ... et ... sur ...
h:x->x-1/4 est ... sur ...
De cela tu peux déduire le sens de variation de g°f puis celui de h°(g°f) qui n'est autre que ta fonction.
Quant à la visualisation de la courbe, tu as ce petit logiciel tout bête qui peut t'aider : sine qua non mais si tu comptes te diriger vers les séries S et ES je te conseille fortement l'achat d'une calculatrice graphique...
Pour tout bagage on a vingt ans On a l'expérience des parents On se fout du tiers comme du quart On prend le bonheur toujours en retard. [Ferré]
Rectification : en fait en seconde tu ne dois pas avoir les outils pour utiliser ce que je t'ai dit plus haut, on va donc repartir de zéro :
Tu as trouvé f(x)=(x-1/2)²-1/4, quel est le signe de (x-1/2)² ? Du coup en quelle valeur est-ce le plus petit ? Pour quel x, f(x) est-il le plus petit ?
Il se passe donc quelque chose de particulier en cette valeur de x (la fonction ne peut pas être croissante ni décroissante autour de cette valeur), il nous reste maintenant à voir si la fonction est croissante ou décroissante "avant" cette valeur et idem après. Tu peux alors, pour cela, prendre a>b tous deux inférieurs à la valeur particulière et regarder ce que tu peux dire de f(a) et f(b) et recommencer la même chose pour a et b supérieurs à la valeur particulière.
Pour tout bagage on a vingt ans On a l'expérience des parents On se fout du tiers comme du quart On prend le bonheur toujours en retard. [Ferré]
Effectivement, j'avais un peu de mal à m'y retrouver...
a > b > 1/2
a - 1/2 > b - 1/2
(a - 1/2)² > (b - 1/2)² car à l'intérieur c'est positif, a et b étant > 1/2
(a - 1/2)² - 1/4 > (b - 1/2)² - 1/4
f(a) > f(b)
donc croissante si x > 1/2
Pour 0,5 > a>b
a -1/2 > b - 1/2
(a-1/2)² < (b - 1/2)² car à l'intérieur, c'est négatif, a et b étant < 1/2
f(a) < f(b)
donc décroissante si x < 1/2
Un grand merci à tous pour ces explications. Et pour les sites où l'on peut visualiser les fonctions rapidement...
Pour la calculatrice graphique, il va effectivement falloir que je m'en achète une. Je voulais attendre la rentrée pour avoir celle que conseille le prof. Avez-vous des conseils à me donner ?
Après avoir trouvé, sur une calculatrice ou un logiciel, la représentation graphique de la fonction f, trouver le sens de variation de la fonction f sur [0 ; +∞[
C'est à dire : prouver que f est décroissante sur [0 ; 1/2] et croissante sur [1/2 ; +∞[ ...
Utilisons donc la définition d'une fonction croissante ou décroissante sur un intervalle I :
1° : sur I = [0 ; 1/2]
soient a et b 2 réels de I donc tels que 0 < a < b < 1/2 prouver que f(a) > b(b)
cela prouvera que la fonction f est décroissante sur [0 ; 1/2]
2° : sur I = [1/2 ; +∞[
soient a et b 2 réels de I donc tels que 1/2 < a < b prouver que f(a) < b(b)
cela prouvera que la fonction f est croissante sur [1/2 ; +∞[
