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Relation D'Euler |
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Envoyé: 01.01.2008, 11:31
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enregistré depuis: janv.. 2008
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dernière visite: 01.01.08
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bonjour,
Je souhaiterai un petit coup de main sur un exercice dont voici l'ennoncé et dont j'ai fait une partie:
ABC est un triangle quelconque de centre de gravité G. O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, A' milieu de BC, B' milieu de AC, C' milieu de AB Et le point K défini par la relation
OK= OA+OB+OC (désolée je ne sais pas faire le signe "vecteur")
1) Faire une figure sans placer le point K : FAIT
2)Montrer que les vecteurs AK et OA' sont colinéaires. En déduire que (AK) et (BC) sont perpendiculaires. FAIT
AK= 2OA' donc colinéaires
Si AK et OA' sont colinéaires alors ils sont paralleles
Comme (OA') perpendiculaire à (BC) (puique (OA') est une hauteur ) alors (AK) est perpendiculaire à (BC)
3)Qui est alors le point K?
La je sais que K est l'orthocentre à cause du rapport avec la relation d'Euler mais je ne sais pas le démontrer
4° prouver que O est le barycentre du système de points pondérés {(K,-2);(A,1);(B,1);(C,1)}
La j'ai un problème car
G etant le barycentre du triangle ABC il me reste à prouver que O est le barycentre de {(G,3);(K,-2)}
OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC
=3OG Comme G est le centre de gravité GA+GB+GC=0
D'après l'énnoncé OK=OA+OB+OC donc
OK=3OG donc 3OG-OK=0
Et la rien ne va plus puisque je trouve O barycentre du système {(G,3);(K,-1)} et pas (K,-2) 
5) En déduire que les points O,G et K sont alignés et préciser la position relative des trois points ?
Comme OK+3OG les deux vecteurs sont colinéaires donc les trois points O,K et G sont alignés et OG=1/3OK
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Envoyé: 01.01.2008, 15:24
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Modérateur
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Salut jeanounette,
pour la 3 tu viens de montrer en 2 que (AK) était la hauteur issu de A du triangle, ne pourrais-tu pas démontrer d'une façon similaire que (BK) est la hauteur issue de B de ce même triangle, ce qui te permettrait de conclure.
Pour la 4 je pense qu'il s'agit d'une erreur d'énoncé, ton raisonnement tient parfaitement la route, le reste est bon aussi.
L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]
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Envoyé: 01.01.2008, 17:00
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merci je vais essayer...
Bonne et heureuse année à vous aussi
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Envoyé: 01.01.2008, 17:21
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enregistré depuis: janv.. 2008
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Effectivement puisque (AK) est parallele à OA', elle est donc perpendiculaire à (BC) et est donc la hautaur issue de A du triangle .
Je peux effectivement faire la même chose avec (BK) et démontrer de la même manière que BK=2OB' et que (BK) est la hauteur issue de B
Idem avec CK
Mais qu'est ce qui me prouve que K est le point de concours des trois hauteurs et donc l'orthocentre.( à part le voir sur la figure !)
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Envoyé: 01.01.2008, 18:29
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Modérateur
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Bah parce que K appartient à (AK), à (BK) et à (CK) qui sont les trois hauteurs du triangles !
L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]
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