J'ai un exercice à faire sur le rectangle d'or et je ne sais pas comment commencer ...
Voici l'énoncé :
Soit un rectangle de longueur L et de largeur l (L > l). On dit que ce rectangle est un rectangle d'or lorsque le rectangle obtenu en ôtant le carré de coté l au rectangle initial lui est semblable.
Partie 1 : Relation caractéristique du nombre d'or.
1°/ Montrer qu'un rectangle est un rectangle d'or lorsque L et l vérifient :
L / l = l / (L - l)
2°/ a) On pose Φ = L / l . Montrer que :
(1) 1 < Φ < 2 et (2) Φ² = Φ + 1
b) Vérifier que (1 + V5) / 2 est solution de ces deux relations.
c) Montrer que les deux réels qui vérifient la relation (2) sont Φ et 1 - Φ. En déduire que seul Φ vérifi ces deux relations.
d) En déduire que Φ = (1 + V5) / 2.
Partie 2 : Construction à la règle et au compas de Φ.
[FG] est un segment d'une unité : FG = 1.
Soit H le milieu du segment [FG] et J le symétrique du point H par rapport à G.
On construit le point K tel que HJK soit un triangle rectangle en J, avec JK = JG.
En reportant la longueur HG, à partir de H, sur la droite (FG), on obtient le point I.
1°/ Montrer que HK = V5 / 2.
2°/ En déduire que FI = Φ.
Pour la partie 1, je ne comprends rien !
Pour la partie 2, j'ai tracé la figure.
1°/ Puisque H est le milieu de [FG], HG = 0,5.
Puisque J est le symétrique de H par rapport à G, HJ = 1.
On sait que :
- HJK est rectangle en J
Or, d'après Pythagore, HK² = HJ² + JK²
HK² = 1² + 0,5²
HK² = 1 + 0,25
HK = V1,25
HK = V5 / V4
HK = V5 / 2.
2°/ Sur ma figure, I est confondu avec F. Il doit y avoir un problème.
Merci de m'aider pour la partie 1 et me dire si la rédaction de la question 1 de la partie 2 est bonne.
Puisque les rectangles doivent être semblables, leurs côtés doivent être proportionnels.
La longueur du rectangle initial est L et la largeur est l.
La longueur du rectangle final est l et la largeur est L - l.
Donc, on en déduit que L / l = l / (L - l).
Puisque Φ = L / l , 1 < \phi car la longeur L est divisée par la largeur l et que L > l.
Φ < 2 car le résultat de ce rapport doit être plus petit que 2 sinon on obtient un carré au lieu du rectangle final.
Pour Φ ² = Φ + 1, je ne trouve pas.
Je tombe sur L² / l² = L / l + 1. Après je suis bloqué.
1 < Φ
1 < (1 + V5) / 2
2 < 1 + V5
1 < V5
1 < 5
(1 + V5) / 2 est bien solution de cette inéquation car 1 < 5.
Φ < 2
(1 + V5) / 2 < 2
1 + V5 < 4
V5 < 3
5 < 9
(1 + V5) / 2 est bien solution de cette inéquation car 5 < 9.
Pour la 2-a) ta justification pour Φ<2 est plus que légère, il faudrait une explication beaucoup plus claire (je te conseille d'ailleurs de faire un dessin quand tu le rédigeras). On a : L / l = l / (L - l), la fraction dans le membre de droite est gênante, on la fait donc disparaître, puis en divisant tout par l tu devrais trouver quelquechose d'intéressant...
Pour la 2-b) c'est ok
Pour la 2-c) la relation (2) est une équation du second degré, combien possède-t-elle de solution au maximum ? Il s'agit alors de vérifier que 1-Φ est solution.
L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]
Pour la 1) ce que tu as dit est suffisant mais une figure ne peux qu'éclaircir tes explications, c'est donc une bonne idée d'en faire une.
Pour la 2), oui tu n'es pas loin, je t'avais conseillé de diviser par l et non de multiplier par l...
Pour la c), oui il faut montrer que 1-Φ est solution de l'équation mais il faudra ensuite expliquer pourquoi Φ et 1-Φ sont les deux seules solutions de cette équation.
Bon réveillon !!
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L / l = l / (L - l)
Φ * l / l = l / (L - l)
Φ =l / (L - l)
Je retombe sur la relation Φ = L / l. Désolé mais je ne vois pas à quelle question cela répond. Je pensais à la 2 / a) mais pourquoi ne reprends on pas l'expression Φ² = Φ + 1.
Pour l'équation du second degré, je ne voit pas quelq sont les membres. Je crois que je n'ai pas appris à résoudre ces équations même si je sais résoudre : (2 + y) (3 - y) = 0
Pour la 2-a) il te suffit de reprendre à ce stade : L / l * (L - l) = l, tu divises ensuite membre à membre par l et tu trouveras le résultat.
Pour la 2-c) on essaie de trouver l'ensemble des solutions de l'équation x²=x+1 que normalement tu ne sais pas résoudre (tu verras ça l'an prochain si tu vas en S ou ES) mais on sait déjà que Φ est une solution.
Ensuite tu as montré dans un post précédent que (1 - Φ)² = 1 - Φ + 1 ⇔ Φ² = 1 + Φ, or Φ² = 1 + Φ est vrai puisque Φ est solution de cette équation, on a donc trouvé une deuxième solution, peut-on en trouver d'autres à ton avis ?
Pour la question 1 de a partie 2 c'est bon, ensuite il faut revoir ton dessin et répondre à la 2)...
modifié par : raycage, 01 Jan 2008 - 18:09
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Pour la 2-a), tu as dû te tromper quelque part et il faut encore diviser par l.
Pour la 2-c, on essaie de vérifier que 1 - Φ est bien solution de l'équation x²=x+1, on fait donc le calcul que tu as fait dans ton post de 16h20 hier.
Pour la partie 2, je pense qu'il y a une erreur d'énoncé , la longueur à reporter est la longueur HK.
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1°/ Puisque les rectangles doivent être semblables, leurs côtés doivent être proportionnels.
La longueur du rectangle initial est L et la largeur est l.
La longueur du rectangle final est l et la largeur est L - l.
Donc, on en déduit que L / l = l / (L - l).
+ FIGURE
2°/
a. Puisque Φ = L / l , 1 < \phi car la longueur L est divisée par la largeur l et que L > l.
L / l = l / L – l
L / l * (L – l) = l
Là, je ne vois pas comment avancer. Si je divise par l, cela me donne :
L² - l = l.
Mais vous m’avez dit que ce n’est pas ça.
b. 1 < Φ
1 < (1 + V5) / 2
2 < 1 + V5
1 < V5
1 < 5
(1 + V5) / 2 est bien solution de cette inéquation car 1 < 5.
2-a) L / l * (L – l) = l, mmoi quand je divise par l j'obtiens :
L(L-l)/l²=1, soit L²/l² - L/l =1, il ne reste plus qu'a remplacer L/l par Φ.
Attention, Φ est le seul qui vérifie les relations (1) et (2).
Quand je dis qu'il y a une erreur d'énoncé, elle ne vient pas forcément de toi ! En tous cas pour obtenir un résultat il faut reporter la longueur HK et non la longueur HG.
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