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Devoir d'entrainement . Limites de suites. |
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EltraiN
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Envoyé: 27.11.2007, 17:20
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Une étoile
enregistré depuis: nov. 2007
Messages: 20
Status: hors ligne
dernière visite: 30.04.08
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Bonjour.
Suite à notre prochain DS, notre prof de math nous a conseillé pour nous entrainer de refaire cet exercice mais il ne nous a pas donné le corrigé. J'aimerais donc savoir si il était possible de me guider dans cet exercice.
On se propose d'étudier la suite (Un) définie sur l'ensemble des entiers naturels par Uo=1 et Un+1=Un E^-Un pour tout entier naturel n, puis la convergence de la suite (Sn) définie par Sn=∑u .
1°) a-Montrer que pour tout entier n, Un est positif.
b-Montrer que la suite (Un) est décroissante.
c-En séduire qu'elle converge et trouver sa limite (on admettra le théorème suivant : "toute suite décroissante et minorée converge").
2°) Montrer que pour tout entier naturel n, Un+1=e^-Sn, et en déduire que (Sn) tend vers + l'infini quand n tend vers + l'infini.
Merci !
modif : problème d'affichage
modifié par : Thierry, 27 Nov 2007 - 22:24
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Thierry
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Envoyé: 27.11.2007, 22:28
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Webmaster
enregistré depuis: jui. 2004
Messages: 1870
Status: hors ligne
dernière visite: 12.05.08
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Salut,
S'agit-il bien de la suite :
?
Thierry
Prof de math à Paris.
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WIWIWI
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Envoyé: 28.11.2007, 11:05
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Constellation
enregistré depuis: sep. 2007
Messages: 60
Status: hors ligne
dernière visite: 06.02.08
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Salut,
Voici quelques conseils : utilise des démonstrations par récurrence (pour 1)a),b) et 2) ):
Etape 0 : je montre que l'hypothèse Hn est vraie pour n=0
Etape n : je suppose que l'hypothèse Hn est vraie pour tout n>0, et je montre que cela implique que l'hypothèse Hn+1 est vraie.
Tu auras alors montré que Hn est vraie ∀n≥0.
1)
a) Hn : "∀k≤n, Uk > 0'. utilse le fait que exp(x)>0 ∀x
b) Hn : "∀k≤n, Uk > Uk+1'
c) C'est minoré par 0 puisque∀n, Un > 0 et c'est décroissant donc ça converge.
Rappel : x*exp(-x)→0*exp(-0)=0*1=0 qd x→0.
2) Hn : "∀k≤n, Uk+1=exp(-∑Ui)' (la somme étant de 0 à k)
Comme exp(-∑Ui)=Uk+1→0 qd k→∞, ∑Ui→∞ qd k→∞ puisque exp(-x)→0 qd x→∞
Voilà, j'espère avoir été clair,
A plus
modifié par : WIWIWI, 28 Nov 2007 - 11:27
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