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Emeline
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Envoyé: 15.09.2005, 16:56
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Une étoile
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Je n'arrive à débuter ce problème, par contre j'ai dans l'idée qu'il s'agit du théorème des gendarmes ? Merci à toute personne qui pourrait de mettre sur la piste !
Soit b un nombre réel strictement positif
1) Exprimer en fonction de b un nombre A1 tel que pour tout nombre réel x strictement positif supérieur à A1 on ait 1/x < b
2) Exprimer en fonction de b un nombre A2 tel que pour tout nombre réel x strictement positif supérieur à A2 on ait 1/(2x + 1) < b
3) Soit f une fonction définie sur R*+ telle que pour tout x de R*+ on ait -1/(2x + 1) <= f(x) <= 1/x
a) Proposer un nombre réel A, à exprimer en focntion de b, tel que pour tout nombre réel x positif supérieur ou égal à A on ait f(x) appartient à l'intervalle ouvert -b ; b
b) Quelle propriété de la fonction f est démontrée à la question a)
c) Proposer une autre justification de cette propriété de la fonction f à l'aide d'un théorème figurant au programme de Terminale S. On énoncera ce théorème avec précision.
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Zauctore
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Envoyé: 15.09.2005, 17:01
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Cosmos
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Bonjour Emeline.
Pour débuter (c'est-à-dire faire la question 1 ?), voici :
1/x < b equiv/ x > 1/b (propriété de l'inverse).
En posant A1 = 1/b ...
La question 2) me semble de la même veine.
Je te laisse le soin de nous en dire davantage pour commenter la suite.
A +
Z, auctore.
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Zauctore
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Envoyé: 15.09.2005, 17:32
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Cosmos
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A la question 2), tu as
1/(2x + 1) < b equiv/ 2x + 1 > 1/b equiv/ x > ...
d'ou A2 , non ?
Z, auctore.
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Emeline
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Envoyé: 15.09.2005, 17:34
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Une étoile
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en posant A1=1/b
on trouve x > A1
donc A1 = 1/b
Suis-je sur la bonne voie ?
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Emeline
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Envoyé: 15.09.2005, 17:44
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Une étoile
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Donc A2 = (1 - b) / 2b
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Zauctore
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Envoyé: 15.09.2005, 17:47
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Cosmos
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Voilà. Continue.
Z, auctore.
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Emeline
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Envoyé: 15.09.2005, 18:29
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Une étoile
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J'ai beau tourner le problème dans tou les sens, je n'arrive pas à faire le lien entre la question 3) et les questions 1) et 2)
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Zauctore
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Envoyé: 15.09.2005, 23:21
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Cosmos
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Si jamais ma réponse ne vient pas trop tard...
On sait que les valeurs de f(x) sont à la fois inférieures à 1/x et supérieures à -1/(2x+1) (je pense que tu as inversé les relations d'ordre).
Alors -b < f(x) < b aura lieu à condition que
-b < -1/(2x+1) et que 1/x < b (simultanément).
Il me semble que maintenant, on voit un lien avec les questions 1) et 2).
Si x > A1 et si x > A2 , alors l'encadrement entre b et -b pour f(x) aura lieu.
Ceci montre que si x est supérieur à mla plus grande des valeurs A1 et A2 , alors -b < f(x) < b.
Ceci, pour toute valeur de b >0 : cela signifie que la fonction f a pour limite 0 lorsque x tend vers + inf/ .
La question 4) est une simple application du théorème que tu as mentionné à 16:56.
Désolé d'avoir tant tardé à revenir sur le site.
Z, auctore.
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Emeline
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Envoyé: 16.09.2005, 06:20
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Merci beaucoup pour ton aide ...
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