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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
Fin 

équation différencielle

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 03.11.2007, 13:38

Constellation


enregistré depuis: avril. 2007
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dernière visite: 26.03.08
Bonjour,
Voila j'ai un exercice à faire pendant ces vacances et j'ai besoin d'aide ! J'espère que quelqu'un aura un peu de temps à m'accorder pour me sauver :) !
Donc voici l'énoncé :

Une étude sur le comportement d'organismes vivants placés dans une enceinte close dans un milieu nutritif et renouvelé en permanence, a conduit à stipuler que l'évolution de la population suit l'équation différentielle :
(E1) : N'(t) = 2 N(t) - 0.0045 [N(t)]²
t est exprimé en heure et N(t) représente nombre d'individus présents à instant t.
Nombre initial d'individus à l'instant t= 0 est 10^3.

I/ On se propose de remplacer (E1) par une équation différencielle plus simple à l'aide d'un changement de fonction connue.

On suppose N ne s'annule pas et on pose Y(t) = 1 / N(t)

a) Calculer dérivée Y en fontion N(t) et N'(t)
b ) Montrer N solution de (E1) si est seulement si Y est solution de (E2) : Y'(t) = -2 Y(t) + 0.0045
c) résoudre équation différencielle (E2)
d) en déduire expression générale (avec une constante) de N(t) :
ne pas oublier que lon a posé Y(t) = 1/N(t)
e) Montrer alors que, compte tenu de la condition initiale on a :
N(t) = 2 / ( 0.0045 - 0.0025e^-2t)

2/ Etude de la fonction N trouvée

On note C la courbe représentant N dans le plan rapporté à un repère orthogonal (O, i, j) (unité graphique 5 cm pour une heure sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 100 individus sur l'axe des ordonnées)

a) étudier les variation de N sur [0, +infini[
b) montrer que C admet une asymptote (d) en +infini
c)déterminer une équation de (T) tangente à C au point d'abscisse 0.
d)Quel est le pourcentage de la population initiale obtenu à l'instant t?
e)Représenter (T) , (d) et C
f)déterminer graphiquement puis par un calcul, l'intant t ou la population initiale aura diminué de moitié.


Donc voici ce que j'ai fait pour le moment :
a) Y(t) est de la forme 1/u donc Y'(t) =- N'(t) / [N(t)]²
b) Y(t) = -2 Y(t) + 0.0045
-N'(t) / [N(t)]² = -2 (1/ N(t)) + 0.0045
- N'(t) = -2/N(t) +0.0045 .[N(t)]²
N'(t) = 2/N(t) -0.0045.[N(t)]²

Je ne trouve pas pareil que E1 alors que normalement il me semble que cela doit être le cas pourriez vous me dire ce qu'il ne vas pas s'il vous plait !! merci d'avance





modifié par : thefifi, 07 Nov 2007 - 10:44
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Envoyé: 03.11.2007, 16:44

Modérateur
kanial

enregistré depuis: avril. 2006
Messages: 1728

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dernière visite: 09.09.15
salut thefifi,
c'est une simple erreur de calcul, reprend-le et tu devrais trouver où tu t'es trompé.


L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]
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Envoyé: 03.11.2007, 18:19

Constellation


enregistré depuis: avril. 2007
Messages: 52

Status: hors ligne
dernière visite: 26.03.08
b) Y(t) = -2 Y(t) + 0.0045
-N'(t) / [N(t)]² = -2 (1/ N(t)) + 0.0045
- N'(t) = (-2/N(t) +0.0045) [N(t)]²
N'(t) = 2N(t) -0.0045.[N(t)]² merci

c)
(E2)= Y'(t) = -2 Y(t) +0.0045
forme y'= ay +b avec a=-2 et b= 0.0045
Y(t) = ke^ax - b/a
Y(t) = ke^-2x - 0.0045/-2
Y(t) = ke^-2x + 2.25*10^-3

d) Y'(t) = -2 Y(t)+0.0045 : Y(t) = ke ^-2x + 2.25*10^-3
N(t) = 1 / (ke^-2x + 2.25*10^-3)

e) N(0)=10^3 donc N(o) = 1 / (ke^-2*0 + 2.25*10^-3)
= 1/ ( k + 2.25*10^-3)
cherchons k : 10^3 = 1/ (k+ 2.25*10^-3)
donc k = 1/ 10^3 - 2.25*10^-3 = - 1.25*10^-3
ainsi si on remplace k par -1.25*10^-3 on obtient bien 10^3.
on obtient :N(t) = 1 / (-1.25*10^-3 e^-2t + 2.25*10^-3)
donc on a plus qu'a multiplier le haut et le bas par 2 et on obtient bien ce qu'il nous est demandé.


II
a)
Pour le sens de variation:
N(t) est la composée des fonctions :
u(t)=-2t décroissante
v(u)=e^u croissante
w(v)=0.0045-0.0025 v décroissante
y(w)=2/w décroissante
donc N(t) est décroissante

b) sachant que la limite en + infini est 444.44444 alors il y a une asymptote en + infini .

c) pour la tangente je vois pas trop !! :s
l'équation d'une tangente est f'(a) (x-a) + f(a)
donc la l'équation de la tangente T à la courbe C en a=0 .
y= N'(0) (x-0 ) + N(0)
et je n'arrive pas à faire la suite ?! pourriez vous m'aider










modifié par : thefifi, 07 Nov 2007 - 10:43
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