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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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melange (suite fonctions )

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 09.10.2007, 21:28

Voie lactée


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Bonjour,

Voici un exercice, dont je ne donnerai pas le vrai énoncé mais un ennocé équivalent car je ne veux pas de réponse, mais des directives pour résoudre l'exercice par moi-même.

Je posterai les questions au fur et à mesure.

Soient un réel b et la suite v définie sur par U0 = b
et ∀n∈N(l'ensemble), Un+1= f(Un) où f est la fonction:
x→(7/6)x² - 3x² + 7.

1) Montrer que U ( la suite ) est croissante
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Envoyé: 10.10.2007, 00:00

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Thierry

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Salut Alex,

Il manque quelques éléments dans ta question ... mais je vais essayer d'extrapoler.

Pour que cette technique particulière fonctionne, il faut que f soit croissante sur l'intervalle dans lequel sont compris tous les termes de la suite un.

C'est un raisonnement par récurrence tout simple :
si un ≤ un+1
alors f(un) ≤ f(un+1) (par définition d'une suite croissante)
donc un+1 ≤ un+2

J'espère que toi aussi tu sauras extrapoler ^^


Thierry
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Envoyé: 10.10.2007, 07:01

Voie lactée


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en fait ce qui me posai problème dans cette question c'était de savoir si je pouvais utiliser la récurrence pour en venir à bout.
Mais dans un raisonnement une fois que l'hérédité est prouvé, la transmissibilité est:

Soit p un réel tel que Up < Up+1
A-t-on Up+1 < Up+2 ?
Up < Up+1 ⇔ ( est ce que je met la fonction alors qu'on parle de suite, c est cela qui me gène car quand je redige, je détaille pour aboutir a f(Up)p+1)

2ème question de l'exercice toujours sans me donner de réponse à la question mais une façon pour procéder svp

On suppose ici: a ∈ à un certain intervalle. ( disons qu il est compris entre 0 et une valeur positive)
Montrer que ∀n∈ N (l ensemble ) Un∈ à l'intervalle considéré.
Moi j ai dérivé la fonction, j ai trouvé une seule solution, donc un changement de variation passant du décroissante à croissante.

Au fait je me suis trompé pour la fonction c 'est en fait
x→(7/6)x² - 3x + 7.

Toujours en extrapolant, pourquoi la suite converge t-elle ? Comment je pourrai procéder pour cela, j avais pensé a montrer qu elle est majorée car tout suite majorée et croissante converge. Instinctivement je diré qu elle converge vers la valeur où j ai le changement de variation mais faudrait que je trouve un majorant. Comment faire ?

Oublier pas de me repondre aussi svp sur la 1ere question sur ce que j ai ecrit

modif : fautes de frappe




modifié par : Thierry, 10 Oct 2007 - 07:15
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Envoyé: 10.10.2007, 07:23

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Thierry

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Salut,

Définition d'une fonction croissante :
si a < b alors f(a) < f(b)
Ca c'est pour répondre à ta 1ère question.

Pour ta deuxième question : il faut que tu repères le minimum et le maximum de ta fonction. Tu pourras alors dire que si Un appartient à l'intervalle alors f(Un) aussi (encore un raisonnement par récurrence).

Si ta suite est croissante et majorée alors elle est bornée. (C'est un théorème dans ton cours).

modifié par : Thierry, 10 Oct 2007 - 07:24


Thierry
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Envoyé: 10.10.2007, 12:57

Voie lactée


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ok donc si je redige sur feuille cela donne:

Montrons que la suite u est croissante.

1ere étape:
U0 = b
U1 = (7/6)b² - 3b + 7
U0 < U1

2ème étape: soit p un entier naturel tel que Up≤Up+1
A t-on Up+1≤Up+2
Up≤Up+1 ⇔ f(Un) < f(Un+1)
⇔ Up+1 < Up+2
Par conséquent Unn+1
La suite (un) est donc croissante.

-----> Pouvez me dire si cela est juste et si vous trouvez que la rédaction ne convient pas me la corrigé svp ?
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Envoyé: 10.10.2007, 13:13

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Thierry

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Thierry

si un ≤ un+1
alors f(un) ≤ f(un+1) (par définition d'une suite croissante)
donc un+1 ≤ un+2

Oui ça a l'air juste, fautes de frappe mises à part (relis !) et des inférieurs ou égal à la place des inégalités strictes.
Ajoute quand même (comme moi) que tu utilises le fait que f soit croissante.


Thierry
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