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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
Fin 

suite récurrente : série des cubes des nombres impairs

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 11.09.2005, 15:00

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zmounie

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1. développer (a+b)^3 et (a+b)^4

2.on pose Sn=1^3 +3^3 +...+(2n-1)^3 pour tout entier n >= 1.

a) calculer S1, S2, S3.

b) démontrer par récurrence, que pour tout entier n >= 1, Sn= 2n^4 -n ^2 .

j'ai fait le 1. et le 2 a). je trouve pas la suite, ni le lien avec 1.

merci d'avance

modifié par : Zauctore, 13 Sep 2010 - 18:33
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Envoyé: 11.09.2005, 15:32

Modérateur
Zauctore

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Salut.
Sans entrer dans les détails, je trouve, en supposant que pour un certain n, on a S n = 2 n 4 - n^2 :
S n+1 = 2 n 4 + 8 n^3 + 11 n^2 + 6 n + 1
ainsi que
2 (n+1)4 - (n+1)^2 = la même chose.
Le 1) sert à développer (n+1) 4.
La récurrence est à rédiger.
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Envoyé: 11.09.2005, 20:38

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zmounie

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bonjour et , déjà: merci
je reprend le boulot!
j'ai compris la démarche. par contre, je ne vois pas comment tu obtiens le résultat Sn+1. bon ... je cherche.
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Envoyé: 11.09.2005, 21:09

Modérateur
Zauctore

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S n+1 , c'est S n + (2n+1)^3 .
Avec l'hypothèse de récurrence, etc.
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Envoyé: 11.09.2005, 22:10

Cosmos
flight

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soit P(n) la proprété; pour tout entier n 1, Sn= 2n^4 -n avec

Sn=SOM(2k-1)^3 pour k compris entre 1 et n.

l'objectif et de montrer que si p(n) est vraie alors p(n+1) l'est aussi

prenons des valeurs simples de n pour verifier la relation (n=1)


p(1) fournit SOM(2k-1)^3 pour k compris entre 1 et 1 soit 1=1 rien de compliqué et la propriété pour n=1 est verifiée.

supposons p(n) vraie montrons que p(n+1) l'est aussi;

SOM(2k-1)^3 pour k compris entre 1 et n+1 = (2n+1)^3+SOM(2k-1)^3
pour k compris entre 1 et n.

considerant que p(n) est vraie SOM(2k-1)^3 =n²(2n²-1)

il ne reste plus qu' a develloper l'expression (2n+1)^3+n²(2n²-1)=
2n^4+8n^3+11n²+6n+1.

en divisant cette expression par (n+1)² , on obtient:
2n^4+8n^3+11n²+6n+1=(n+1)².(2n²+4n)+(n²+2n+1)=
(n+1)².(2n²+4n+1)=(n+1)².(2(n+1)²-1)=2(n+1)^4-(n+1)² ce qui correspond à P(n+1) ce qu'on voulait! donc pour tout n>=1 p(n) est vraie.







flight721
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Envoyé: 12.09.2005, 19:27

Une étoile
zmounie

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dernière visite: 01.11.05
merci à tous les deux. J'ai réussi!!!
Je suis bien contente d'avoir trouvé de l'aide.
C'était ma première participation au forum, j'espère que j'ai été bien!
je cours rédiger mon devoir.
A bientôt
Top 
Envoyé: 12.09.2005, 19:34

Modérateur
Zauctore

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dernière visite: 07.03.13
Ok.
Tu penseras juste à l'avenir :
1) à dire bonjour en postant le sujet
et
2) à montrer un peu ce que tu as fait.
On est content de t'avoir aidée.
Top 
Envoyé: 13.09.2010, 18:22

Galaxie
anne-so'

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dernière visite: 20.10.12
Bonjour,

Désolé de revenir sur ce sujet, mais je n'ai pas compris comment on passe de Sn de l'énoncé à S n = 2 n 4 - n^2

Merci.
Top 
Envoyé: 13.09.2010, 18:29

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

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dernière visite: 07.03.13
Bonjour

En fait on ne passe pas du "Sn de l'énoncé à S n = 2 n^4 - n^2" mais on prouve que la formule donnée est vraie par récurrence.

Car trouver ladite formule à l'oeil n'est pas évident en soi !
Top 
Envoyé: 13.09.2010, 18:33

Galaxie
anne-so'

enregistré depuis: déc.. 2009
Messages: 217

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dernière visite: 20.10.12
Ah j'ai compris !
Il faut calculer s1 s2 et s3 avec la formule (2n-1)^3 pour cela on a calculer auparavant (a+b)^3

et seulement ensuite démontrer la récurrence et donc trouver l'autre formule.

Merci beaucoup !
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