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Modéré par: mtschoon, Thierry, Noemi
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Equa. diff. linéaire : problème de Cauchy

- classé dans : Algèbre linéaire

Envoyé: 08.10.2007, 20:35

Modérateur
zoombinis

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Bonjour voici un problème de Cauchy intéressant que j'ai à résoudre
n∈ensz x∈I
equa-diff : y' + xy = xn [1]
conditions intiales : y(1) = 1

Voilà mon travail :
x²/2 est une primitive de x sur I

[1] <=> y' ex²/2 + xyex²/2 = xnex²/2

Or,
D[yex²/2]=y' ex²/2 + xyex²/2 (1er membre)
( D désigne dérivée p/r à x)
<=> D[yex²/2] = xnex²/2

On note P(x,n) une primitive de xnex²/2

D[yex²/2] = D [ P(x,n) ]
<=> ∃ λ ∈ ensr tel que : yex²/2 = P(x,n) + λ
donc y(x) = P(x,n)e-x²/2 + λe-x²/2

Voilà l'expression de y(x)
maintenant on peu trouver une valeur de λ qui satisfait les conditions initiales :
en effet,
y(1) = 1 <=> 1 = P(1,n)e-1/2 + λe1/2
<=> λ = e1/2 - P(1,n)

Voilà ça s'etait pour ce qui est fait, vous avez vu ? quasiment presque tout enfin il manque un petit détail : P(x,n)
En effet il faut maintenant trouver une primitive de :

xnex²/2
selon les valeurs de n bien entendu ... icon_biggrin

C'est tout ce qu'il me manque pour finir ce problème ...

Merci aux courageux mathématiciens qui se pencheront sur mon problème ^^






Bien, très bien, excellent et vive les maths
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Envoyé: 08.10.2007, 20:47

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zoombinis

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dernière visite: 25.08.08
Quel imbécile, je me reposais sur mes loriers alors que je peux continuer à travailler.
Ce post m'a permis d'ecrire ex et non pas exp(x)
et ainsi remarquer :

xnex²/2 = enln(x) + x²/2
Bon ben la primitive va de soi :


par contre l'accé à cette primitive est strictement reservée aux x > 0
Bon allez je vais aller continuer tout ça


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Envoyé: 08.10.2007, 21:09

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zoombinis

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Après calculs je trouve donc :

∀x ∈ ensr*+ ; ∀n ∈ ensz \ {-1 ; -x² (lorsque celui ci ∈ensz)}


Voilà je n'ose pas m'aventurer dans des x de ensr- et des n quelconques

Bel exercice et beau monologue ^^


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Envoyé: 08.10.2007, 21:18

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zoombinis

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Tout compte fait erreur erreur dans la primitive de xnex²/2

à suivre...


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