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Equa. diff. linéaire : problème de Cauchy |
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zoombinis
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Envoyé: 08.10.2007, 20:35
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Bonjour voici un problème de Cauchy intéressant que j'ai à résoudre
n∈ x∈I
equa-diff : y' + xy = xn [1]
conditions intiales : y(1) = 1
Voilà mon travail :
x²/2 est une primitive de x sur I
[1] <=> y' ex²/2 + xyex²/2 = xnex²/2
Or,
D[yex²/2]=y' ex²/2 + xyex²/2 (1er membre)
( D désigne dérivée p/r à x)
<=> D[yex²/2] = xnex²/2
On note P(x,n) une primitive de xnex²/2
D[yex²/2] = D [ P(x,n) ]
<=> ∃ λ ∈  tel que : yex²/2 = P(x,n) + λ
donc y(x) = P(x,n)e-x²/2 + λe-x²/2
Voilà l'expression de y(x)
maintenant on peu trouver une valeur de λ qui satisfait les conditions initiales :
en effet,
y(1) = 1 <=> 1 = P(1,n)e-1/2 + λe1/2
<=> λ = e1/2 - P(1,n)
Voilà ça s'etait pour ce qui est fait, vous avez vu ? quasiment presque tout enfin il manque un petit détail : P(x,n)
En effet il faut maintenant trouver une primitive de :
xnex²/2
selon les valeurs de n bien entendu ... 
C'est tout ce qu'il me manque pour finir ce problème ...
Merci aux courageux mathématiciens qui se pencheront sur mon problème ^^
Bien, très bien, excellent et vive les maths
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zoombinis
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Envoyé: 08.10.2007, 20:47
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Quel imbécile, je me reposais sur mes loriers alors que je peux continuer à travailler.
Ce post m'a permis d'ecrire ex et non pas exp(x)
et ainsi remarquer :
xnex²/2 = enln(x) + x²/2
Bon ben la primitive va de soi :
 = \frac{e^(nln(x) + \frac{x^2}{2})}{ \frac{n}{x} + x })
par contre l'accé à cette primitive est strictement reservée aux x > 0
Bon allez je vais aller continuer tout ça
Bien, très bien, excellent et vive les maths
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zoombinis
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Envoyé: 08.10.2007, 21:09
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Après calculs je trouve donc :
∀x ∈ *+ ; ∀n ∈ \ {-1 ; -x² (lorsque celui ci ∈)}
 = \frac{exp( nln(x) )}{ \frac{n}{x} + x} + 1 - \frac{1}{n+1})
Voilà je n'ose pas m'aventurer dans des x de - et des n quelconques
Bel exercice et beau monologue ^^
Bien, très bien, excellent et vive les maths
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zoombinis
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Envoyé: 08.10.2007, 21:18
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Tout compte fait erreur erreur dans la primitive de xnex²/2
à suivre...
Bien, très bien, excellent et vive les maths
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