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Racine :: Le Math-Forum :: Seconde :: IRRATIONALITE DE racine de 2 (raisonement par l'absurde )

Modéré par: Thierry, zoombinis, Jeet-chris, Zorro, raycage

	IRRATIONALITE DE racine de 2 (raisonement par l'absurde )

anais25	Envoyé: 30.09.2007, 16:07
Une étoile enregistré depuis: sep. 2007 Messages: 33 Status: hors ligne dernière visite: 30.09.07	Bonjour ! Je n'ai pas vraiment compris mon exercice j'espere que vous pourrez m'aider ! On va utiliser un raisonnement par l'absurde : on suppose le contraire de ce que l'on veut prouver et on fait apparaitre une contradiction ou absurdité , d'ou le nom du raisonement . On suppose que √2 est rationnel. On peut donc écrire √2 = a/b , avec a et b entiers naturel , b ≠ 0 et a/b fraction irreductible. 2.a : Montrer que a² = 2b². 2.b : Que peut-on dire sur la parité de a² ? 2.c : En utilisant la premiere partie , trouver la parité de a . Voila ! J'ai a peu pres compris le raisonement mais pas le terme parité et je sais pas comment montrer que a² = 2b² ! Svp aidez moi! Merci d'avance ! √ modifié par : Thierry, 30 Sep 2007 - 23:31


Zorro	Envoyé: 30.09.2007, 19:37
Modératrice enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 5117 Status: hors ligne dernière visite: 05.07.08	Bonjour, J'ai préparé un fiche que je n'ai pas encore mise sur le forum : tu vas donc l'étrenner : Le but de cette fiche est de démontrer que que $\,\sqrt{\,2\,}\,$ est irrationnel. Démontrons les propriétés préalables nécessaires à la suite de la démonstration : Si a, entier relatif est pair alors c'est que c'est un nombre obtenu par la multiplication de 2 par un autre nombre entier. Donc si a est pair alors il existe un entier relatif b tel que $a\,=\,2\, \times \, b\, =\, 2b$ Si $a\,=\, 2b$ , alors $a^2\, =\, (2b)^2\, =\,4b^2\, =\, 2\, \times \,(2b^2)\, =\,2M$ Donc si a est pair alors a² est pair Si a est un nombre impair, on peut l'écrire comme un nombre pair auquel on ajoute 1 donc il peut s'écrire $a\,=\, 2b\, +1$ alors $a^2\, =\, (2b\,+\,1)^2\, =\,4b^2\,+\,4b\,+\,1=\, 2\, \times \,(2b^2\,+\,2b)\,+\,1\, =\,2M\,+\, 1$ Donc si a est impair alors a² est impair Avec ces 2 démonstrations, on a bien démontré que a est pair si et seulement si a² est pair Cette notion sera utile dans la suite de la démonstration. La démonstration de l'irrationalité de $\,\sqrt{\,2\,}\,$ se fait par l'absurde. On suppose que ce nombre est rationnel et on arrive à une conclusion fausse. Cela voudra donc dire que notre hypothèse de départ est fausse et donc que $\,\sqrt{\,2\,}\,$ est un irrationnel. On suppose que $\,\sqrt{\,2\,}\,$ est rationnel Cela signifie qu'il existe deux entiers relatifs p et q tels que $\,\sqrt{\,2\,}\,=\,\frac{\,p\,}{q}$ et la fraction $\,\frac{\,p\,}{q}\,$ est irréductible $\,\sqrt{\,2\,}\,=\,\frac{\,p\,}{q}$ donc $\,(\sqrt{\,2\,})^2\,=\,(\frac{\,p\,}{q})^2\,=\,\frac{\,p^2\,}{q^2}$ donc $\,2\,=\,\frac{\,p^2\,}{q^2}$ donc $p^2\,=\,2q^2$ donc $p^2\,$ est pair donc p est pair donc il existe un nombre relatif $p'\,$ tel que $p\,=\,2p'\,$ donc $p^2\,=\,4p'^2\,$ or $p^2\,=\,2q^2\,$ donc $2q^2\,=\,4p'^2\,$ donc $q^2\,=\,2p'^2\,$ donc q est pair donc il existe un nombre relatif $q'\,$ tel que $q\,=\,2q'\,$ donc la fraction $\frac{\,p\,}{q}\,=\,\frac{\,2p'\,}{2q'}$ n'est pas irréductible, ce qui contredit l'hypothèse de départ qui était $\,\sqrt{\,2\,}\,$ est rationnel. Donc $\,\sqrt{\,2\,}\,$ est irrationnel.

Thierry	Envoyé: 30.09.2007, 23:28
Webmaster enregistré depuis: jui. 2004 Messages: 1891 Status: hors ligne dernière visite: 01.07.08	La fiche de Zorro est arrivée : racine carrée de 2 est irrationnel ! Thierry Prof de math à Paris.

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