Math forum
Les maths ont leur forum !
Les Cours Thierry
Cours de mathématiques et soutien scolaire par le webmaster de Math foru'
RUBRIQUES

 
Cours & Math-fiches

 
Math foru' sur Facebook


 
Rechercher dans les forums Derniers messages S'inscrire pour poster des messages S'inscrire pour poster des messages
vers le sujet précédent vers le sujet suivant
Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
Fin 

Nombres complexe z^4=1

- classé dans : Complexes

Envoyé: 25.09.2007, 20:08

Une étoile


enregistré depuis: sept.. 2007
Messages: 11

Status: hors ligne
dernière visite: 11.12.07
kikou all
Bon voila j'ai un probleme pour resoudre l'equation z^4=1
j'ai posé z = x +iy
soit :
(x+iy)^4=1
(x+iy)² (x+iy)² = 1
(x² + 2ixy - y²) (x² + 2ixy - y²) = 1
x^4 + 2ix^3y - x²y² + 2ix^3y + 4i²x²y² - 2ixy^3 - x²y² - 2ixy^3 + y^4 = 1
(x^4 + y^4 - 6x²y²) + i (4x^3y - 4xy^3) = 1

et la je suis bloqué, je sais pas comment resoudre cela :s
Si quelqu'un peut me proposer une méthode, je suis tout ouie.
Je vous remerci d'avance.
bye

Intervention de Zorro = ajout d'espaces pour régler un problème d'affichage



modifié par : mtschoon, 19 Fév 2013 - 10:50
Top 
 
Envoyé: 25.09.2007, 20:22

Cosmos
Zorro

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 9374

Status: hors ligne
dernière visite: 10.01.16
Bonjour,

Pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple

z4 = (z2)2

donc l'équation devient (z2)2 = 1

or Z2 = 1 ⇔ Z = ± 1

donc il faut donc résoudre

z2 = 1 donc z = ???

z2 = -1 donc z = ???
Top 
Envoyé: 25.09.2007, 22:15

Une étoile


enregistré depuis: sept.. 2007
Messages: 11

Status: hors ligne
dernière visite: 11.12.07
c'est vrai que cette méthode semble simple mais pour résoudre z^3 je ne vois pas comment faire :s ( un autre exo qu'on m'a demandé de faire, je pensais le reussir si je savais faire z^4...).
Top 
Envoyé: 25.09.2007, 22:19

Cosmos
Zorro

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 9374

Status: hors ligne
dernière visite: 10.01.16
z3 = 1 ⇔ z3 - 1 = 0

1 est racine du polynôme P(z) = z3 - 1

donc P(z) = (z - 1) (az2 + bz + 1)

Il faut donc trouver a , b et c par identification

et résoudre az2 + bz + 1 = 0
Top 
Envoyé: 26.09.2007, 13:12

Une étoile


enregistré depuis: sept.. 2007
Messages: 11

Status: hors ligne
dernière visite: 11.12.07
hmm merci, je vais essayer de faire ca :)
Top 
Envoyé: 26.09.2007, 19:21



enregistré depuis: sept.. 2007
Messages: 3

Status: hors ligne
dernière visite: 26.09.07
euh j'ai le meme exercice que toi et je n'arrive pas a faire l'identification de donc P(z) = (z - 1) (az2 + bz + 1) , on a aucune donnée.
Top 
Envoyé: 26.09.2007, 20:45



enregistré depuis: sept.. 2007
Messages: 3

Status: hors ligne
dernière visite: 26.09.07
ah c'est bon j'ai reussi xD !
Top 
Envoyé: 26.09.2007, 20:45

Cosmos
Zorro

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 9374

Status: hors ligne
dernière visite: 10.01.16
Ah tu n'as aucune donnée ? ! ?

Tu lis vraiment tout ce qu'on écrit ?

P(z) = z3 - 1

P(z) = (z - 1) (az2 + bz + 1)

Top 
Envoyé: 26.09.2007, 20:57



enregistré depuis: sept.. 2007
Messages: 3

Status: hors ligne
dernière visite: 26.09.07
Merci quand meme de m'avoir aider a chercher dans cette voie la !
Top 
Envoyé: 26.09.2007, 21:12

Cosmos
Zorro

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 9374

Status: hors ligne
dernière visite: 10.01.16
Tu sais quand même développer (z - 1) (az2 + bz + 1)

et identifier le résultat à z3 - 1
Top 
Envoyé: 26.09.2007, 22:03

Une étoile


enregistré depuis: sept.. 2007
Messages: 11

Status: hors ligne
dernière visite: 11.12.07
moi j'ai dévelopé, je trouve a = 1 b = 1 c = 1 ( me disais que c'etait bizarre )
apres je trouve z1 = (-1-i√3)/2 et z2 = (-1+i√3)/2
les resultats semblent bon, j'ai compris la demarche, merci beaucoup

Mais j'ai un autre probleme :s
j'ai z'=z²-2(1+i)z
je trouve z'=x²-y²-2x+2y + i (2xy-2x-2y)
je dois trouver l'ensemble des points M d'affixe z tels que z' soit un nombre réel, si je comprend bien, alors la aprtie imaginaire doit etre egale a 0.
je résouds 2xy-2x-2y= 0 ? je sais pas comment faire :s

Enfin vala ca me derange de demander de l'aide comme ca, je fais tout mon possible pour trouver la solution seul, mais ce n'est pas evident >.<
Je demande de l'aide car j'aimerai reussir en maths >.<
Evidement reussir en comprenant ce que je fais.
Bon je vous remerci d'avance, bye
Top 
Envoyé: 26.09.2007, 22:09

Cosmos
Zorro

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 9374

Status: hors ligne
dernière visite: 10.01.16
Je n'ai pas vérifier ton calcul ....

mais 2xy - 2x - 2y = 0 ⇔ xy - x - y = 0 ⇔ y(x-1) - x = 0
⇔ y = x/(x-1)

Donc les points M d'affixe z = x + iy tels que z' soit un réel sont les points de la représentation graphique de la fonction f(x) = x/(x-1)

Tout cela est vrai si la condition 2xy - 2x - 2y = 0 est la bonne ....

Si j'ai 2 minutes je vérifie ...
Top 
Envoyé: 26.09.2007, 22:50

Une étoile


enregistré depuis: sept.. 2007
Messages: 11

Status: hors ligne
dernière visite: 11.12.07
ah, merci beaucoup, moi qui essayais de déterminer les Réels x et y :s
c'est beaucoup plus simple comme ca ^^
Top 
Envoyé: 07.10.2007, 14:22

oizeaudezair

enregistré depuis: oct.. 2007
Messages: 1

Status: hors ligne
dernière visite: 07.10.07
bonjour !!
j'ai actuellement un DM à faire dans lequel j'ai un exercice qui me pose problème:
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (o, u, v)
Soit A,B et C les points d'affixes respectives -4, 3 et i.

On appelle f l'applictaion du plan P privé de A dans lui même, qui à tout point M d'affixe z(z≠4) associe le point M' d'affixe z' définie par :

z'= (z-3) / (z+4)

On me demande de
1. déterminer les affixes des points invariants par f
2. donner une interprétation géométrique du module de z
3. déterminer et représenter l'ensemble E des points M dont les images par f appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1
icon_confused

Pour le moment, j'ai éffectué quelques calculs, de simples essais qui ne m'ont rien apporté. Je sais seulement que la question 3 revient à chercher les points M dont les images ont pour module 1.

pourriez vous me donner quelques pistes svp ?
merci d'avance !!!


modifié par : oizeaudezair, 07 Oct 2007 - 15:14
Top 
Envoyé: 12.07.2013, 19:14



enregistré depuis: juil.. 2013
Messages: 1

Status: hors ligne
dernière visite: 12.07.13
πOn a:z^4=1

Tu poses z^2=Z
On aura: Z^2=1 ⇒ Z=√1=1 et -√1=-(√1)=-1

On a donc z²=1 et z²=-1
Ce qui nous donne z=√1=1 ou -√1=-1 et z=i(i²=-1)

Vérifions maintenant avec l'égalité de début en utilisant les résultats obtenus.

. z^4=1 ⇒ 1^4=1×1×1×1=1 (même resultat avec -1)
. z^4=1 ⇒ i^4=i²×i²=(-1)×(-1)=1
L'egalité est donc verifiée avec ces trois valeurs(z=1,z=-1,z=i)

Top 
Envoyé: 12.07.2013, 19:52

Modératrice


enregistré depuis: févr.. 2011
Messages: 8463

Status: hors ligne
dernière visite: 08.12.16
Bonjour mathix,

Tu as oublié une valeur

Les solutions de z^4=1 sont 1 , -1 , i , -i

( ce sont les 4 racines 4èmes de 1 )
Top 
Envoyé: 14.07.2013, 13:34

Cosmos
Zorro

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 9374

Status: hors ligne
dernière visite: 10.01.16
Sympa mathix de répondre à une question posée en septembre 2007 !!!! le poseur de question doit avoir fini par avoir le bac depuis un certain temps, il doit même avoir fini ses études !
Top 


Boîte de connexion

 Bienvenue invité
Inscris-toi c'est gratuit !



Rejoins-nous afin de poser tes questions dans les forums de Math foru' :

 Crée ton compte
 Connexion :
Pseudo :


Mot de passe :


Retenir


Identifiants perdus ?
Membres
Dernier Nouveaux aujourd'hui0
Dernier Nouveaux hier1
Dernier Total13136
Dernier Dernier
Sandradaou
 
Liens commerciaux