suis-je sur la bonne voie (recurrence)

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• T

  titeclaire22 dernière édition par
  
  

  Salut à tous

  Est-ce que quelqu'un pourrait me corriger s'il vous plait ?

  $U_0$=a
  $U_{n+1}$= $U$_n$(2-U_n$)

  1. Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0 < $U_n$ < 1 ( on suppose que 0 < a < 1 )

  initialisation

  0 < a < 1 $U_0$ = a donc 0 < $U_n$ <1 est vrai pour n=0

  hérédité si 0 < $U_n$ < 1 alors 0 < $U_{n+1}$ < 1

  si 0 < $U_n$ < 1
  alors 0 < $2U_n$ < 2
  alors 0 < $2U_n$ - $U_n$² < 1 ( pas sûre )
  alors 0 < $U_n$(2 - $U_n$) < 1
  alors 0 < $U_{n+1}$ < 1

  La propriété est donc vraie et est héréditaire

  Est-ce correct ?
  Merci d'avance ^^

  ps : Comment pourrais-je montrer que $(U_n$) est croissante ?

  Edit de J-C : passage aux indices, et correction du problème d'affichage qui nous empêchait de comprendre l'exercice.

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• T

  tats1109 dernière édition par @titeclaire22
  
  

  Vrai mais pas bien rédigé:

  1. Vérification au rang initial =>OK
  2. On suppose que l'hypothe soit vraie au rang p (0<Up<1)
  3. Vérifions au rang p+1 :
     0<Un<1
     -1<-Un<0
     1<2-Un<2 (x 0
     Ensuite multiplication membre à membre des deux inégalité car elles sont positives et dans le même sens, d'où:
     0<Un(2-Un)<2
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