Racine carré de 2 est irrationnel


  • S

    **Bonjour a tous!
    Je bloque sur un exo de mon dm de maths et une petite aide ne serais pas de refus .
    Voici mon exerçice et ce que j'ai fait.

    Supposons que √2 s'ecrive sous la forme irreductible a/b ou a et b sont des entiers naturels.

    1.Montrer que dans ce cas a²=2b²

    On suit la supposition, on a donc √2=a/b
    ⇒(√2)²=(a/b)²
    a²=2b²

    2.a.Montrer que le carré d'un nombre pair 2n (n appartenant aux entiers naturels ) est un nombre pair.

    (2n²)=4n^4
    4 est divisible plus d'une fois par 2. 4n^4 est donc pair.

    b.Montrer que le carré d'un nombre impair est impair

    Soit 2n+1, nombre impair.
    (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 2(2n^2+2n+\frac{1}{2})

    3.Des questions1 et 2 deduire que a est pair .

    2b^2 est pair, donc a est pair par équivalence

    4.Soit a=2k avec k appartient aux entiers naturels .
    a. Montrer que b²=2k².
    b.Que peut on en deduir quant a la parité de b ?
    5.Expliquer pourquoi ceci est en contradiction avec l'hypotese faite au debut.
    6.Que peut on deduire sur le nombre √2 ?**

    Les 3 dernieres questions je n' arrive pas merçi d'avance a tous ceux qui pourront m'aider 😄


  • Thierry
    Modérateurs

    Salut Samia,

    C'est pas trop mal tout ce que tu as fait. La suite n'est gère plus difficile. Tu as dû manquer de courage ...

    Voici quelques indications :

    4)a) Il faut utiliser la question 1 et se servir du fait que b²=a²/2

    b) se traite comme la question 3 car la question précédente nous informe que b² est pair (donc b est ...)

    1. a et b sont 2 nombres pairs donc que peux-tu dire sur l'irréductibilité de la fraction a/b ?

    2. Sais-tu ce qu'est un raisonnement par l'absurde ? C'est l'objet de cet exercice.

    Tiens-nous au courant ...


  • S

    Aidez moi s'il vous plait!!


  • Thierry
    Modérateurs

    On a une fiche maison depuis : racine de 2 est irrationnel


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