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démonstration par récurrence |
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Envoyé: 10.09.2007, 22:25
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enregistré depuis: aoû. 2007
Messages: 6
Status: hors ligne
dernière visite: 12.09.07
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Bonjour,
On vient de commencer le chapitre sur les récurrences. J'ai compris le principe et on a déjà fait quelques exemples, mais je bloque dans l'hérédité dans deux énoncés...
Pour tout n≥5, démontrer que 2n > n²
dans l'initialisation:
on a 25=32 et 5²=25 d'où
32>25 d'où la proposition est vraie au rang 5
dans l'hérédité:
Supposons la proposition vraie au rang k (k≥5)
c'est-à-dire 2k > k²
Là, il faut que j'arrive à la fin à 2k+1 >(k+1)²
or pour trouver 2k+1, il faut faire 2×2k d'où
2×2k > 2k²
Mais après, je ne sais pas comment continuer pour arriver à 2k+1 >(k+1)²...
Ensuite le deuxième énoncé: pour tout n≥0, démontrer que 4n -1 est un multiple de 3.
dans l'initialisation:
on a 40 -1=0
or 0 est un multiple de 3, donc la proposition est vraie au rang 0
dans l'hérédité:
Supposons la proposition vraie au rang k (k≥0)
c'est-à-dire 4k-1 est un multiple de 3
Là aussi, à la fin je dois trouver 4k+1-1 multiple de 3
or pour trouver 4k+1, je dois faire 4×4k
d'où 4×4k+1-1, mais ensuite comment je peux prouver que cela est bien un multiple de 3?
Merci beaucoup et d'avance pour vos conseils et votre aide!
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Envoyé: 11.09.2007, 12:35
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Une étoile
enregistré depuis: sep. 2007
Messages: 36
Status: hors ligne
dernière visite: 29.02.08
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Salut, pour ce qui est du premier exercice, il te suffit de montrer que
2k²>(k+1)² pour conclure.
Pour le faire, tu pourras étudier le signe de la différence...
Site de cours et de corrigés : mathemitec.
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Envoyé: 12.09.2007, 15:36
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enregistré depuis: aoû. 2007
Messages: 6
Status: hors ligne
dernière visite: 12.09.07
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Bonjour,
d'accord, merci beaucoup. je vais donc essayer de trouver le signe de cela en faisant la différence: 2k² - (k+1)²....
Merci encore pour votre aide!
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