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Envoyé: 06.09.2007, 17:52
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Constellation
enregistré depuis: jan. 2007
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dernière visite: 10.04.08
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Bonjour à tous,
Je suis en terminale S Spé Maths et dès le 2e jour de la rentrée j'ai eu un DM mais qui fait partie du tronc commun. J'ai du mal avec le dernier exercice, je pense avoir bon au début mais je n'arrive pas à faire la fin.
Voilà l'énoncé:
Deux sociétès M et N se partagent le marché des télécommunications d'une région. Actuellement la société M détient 90% de la clientèle. Une étude de marché permet de penser que, chaque année, 20% des clients de M changeront pour N et que, réciproquement, 20% des clients de N changeront pour M.
On étudie un groupe représentatif de 1000clients, et on suppose que la tendance estimée va se poursuivre.
On voudrait prévoir l'évolution du nbre de clients des deux sociétès.
On note u0 le nbre de clients actuels de M et un ce nbre ds n années.
1.Calculer u1, u2, u3 puis exprimer un+1 en fonction de un.
2.Pour tt n ∈  , on pose vn = un - 500.
a.Démontrer que vn est une suité géométrique puis exprimer vn en fonction de n.
b.En déduire l'expression de un en fonction de n, le sens de variation de un et sa limite.
c.Que peut-on conclure pour les 2 sociétès?
Alors j'ai fait:
1. u0 = 900 car M détient 90% des 1000clients.
u1 = 900 - ((20/100)* 900) + ((20/100) * (1000-900) = 740
u2 = 740 - ((20/100) * 740) + ((20/100) * (1000-740) = 644
u3 = 644 - ((20/100) * 644) + ((20/100) * (1000-644) = 586.4
un+1 = un - 0.2un + (0.2 * (1000-un)
un+1 = 3/5 un + 200
2. a. vn = un - 500
vn+1 = un+1 - 500 = 3/5 un + 200 - 500 = 3/5 un - 300 = 3/5 ( un - 500) = (3/5) v n
Donc suite géométrique de raison 3/5 et de premier terme v0 = u0 - 500 = 900 - 500 = 400
Et aprés je suis completement paumée.
Je dit que vn = ((3/5)n * 400)
Mais je n'arrive pas à faire un en fonction de n, ca me donne un = ((3/5)n * 400 ) + 500 et après je suis bloquée. Je n'arrive pas à faire le sens de variation ni la limite.
Je pense que la tendance va s'inverser, N va détenir plus de clients que M mais comme je n'ai pas la fin je ne peux pas le prouver parce que je pense que (un) est décroissante.
Merci de votre aide.
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Envoyé: 06.09.2007, 19:22
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Modératrice
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dernière visite: 08.01.09
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Bonjour,
On sait que vn = un - 500
donc un = ???
Il ne te reste plus qu'à remplacer vn par (3/5)n * 400 et tu aurs ce que tu cherches.
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Envoyé: 06.09.2007, 20:33
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Constellation
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dernière visite: 10.04.08
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Bonjour,
Ca donne un =( (3/5)n * 400 ) + 500
C'est ce que j'ai fait, mais comment j'en déduis le sens de variation ?
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Envoyé: 06.09.2007, 23:32
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Modératrice
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dernière visite: 08.01.09
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Pense à utiliser la bonne vieille méthode qui consiste à comparer Un+1 à Un pour tout n de .
En fait cela revient à étudier le signe de Un+1 - Un.
Si Un+1 - Un > 0 pour tout n de , alors la suite est ???
Si Un+1 - Un < 0 pour tout n de , alors la suite est ???
modifié par : Zorro, 06 Sep 2007 - 23:32
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Envoyé: 08.09.2007, 13:36
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Constellation
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dernière visite: 10.04.08
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Un+1 - un = ((9/25)n * 240 ) - ((15/25)n * 400)
Donc je dis que (9/25)n < (15/25)n et que 240 < 400 donc que ((9/25)n * 240 ) < ((15/25)n * 400).
Donc que u est décroissante.
Pour la limite: un = ((3/5)n * 400 ) +500
Donc que la fonction n → (3/5)n, c'est une suité géométrique de raison (3/5) < 1 donc lim = 0.
Et donc pour u, j'ajoute 0 à 500 pour trouver que lim u = 500.
C'est ça non ?
Et donc les 2 sociétés auront le même nombre de clients.
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Envoyé: 08.09.2007, 19:01
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Modérateur
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dernière visite: 03.01.09
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Salut.
2.b) Tu peux effectuer le calcul plus simplement en factorisant tout ça, regarde : 
un+1-un = 400*(3/5)n+1+500-400*(3/5)n-500
un+1-un = 400*(3/5)n(3/5-1)
Donc un+1-un = -160*(3/5)n.
Là le signe est simple à affirmer non ? 
En tout cas (un) est bien décroissante.
Très bien pour la limite ! La limite de (un) étant la somme des limites de 400*(3/5)n et de 500, on trouve bien qu'elle vaut 500.
@+
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Envoyé: 08.09.2007, 20:16
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Constellation
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dernière visite: 10.04.08
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Merci pour la simplification !
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