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chounette
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Envoyé: 26.07.2007, 19:39
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Bonjour,
Je dois prouver la convergence des ces 2 integrales :∫cos(x2)dx entre 0 et ∞ et celle de sin(x2), mais je ne vois pas comment faire. Merci beaucoup pour votre aide!
( dsl je ne sais pas me servir du langage LaTex  )
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Jeet-chris
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Envoyé: 26.07.2007, 23:11
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Salut.
Effectue une intégration par par partie de :
 = \int_0^x cos(x^2) dx = \int_0^x \frac{1}{2x}\times 2 x cos(x^2) dx)
Ensuite tu vas pouvoir montrer l'intégrabilité par comparaison à une autre intégrale. 
@+
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chounette
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Envoyé: 27.07.2007, 12:14
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J'obtiens I(x)=int_0^∞ [sin(x²)]/2x dx + int_0^∞ 1/2x²×sin(x²) dx mais après.....
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Jeet-chris
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Envoyé: 28.07.2007, 00:41
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Salut.
J'ai dit une intégration par parties, donc tu ne devrais pas te retrouver avec 2 intégrales, mais avec un crochet et une intégrale. 
Puis il suffit de calculer ce qu'il y a dans le crochet et de faire tendre x vers l'inifini d'une part, puis de majorer l'intégrale par quelque chose d'intégrable. 
D'ailleurs au lieu d'utiliser des x on va utiliser des t pour qu'il n'y ait pas de confusions.
 = \int_0^t \frac{1}{2x}\times 2 x cos(x^2) dx)
Donc ce sera t qui tendra vers l'infini.
@+
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chounette
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Envoyé: 28.07.2007, 13:57
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olala oui desolé, je suis fatiguée moi!!! 
bon alors j'obtiens [sin(t²)/2t] +1/2 ∫_0^∞ (sin(t²)/t² dx
sin(t²)→1 quand t→∞ d'ou le crochet tend vers 0 . Pour le reste de l'integrale, je ne peux pas dire que sin(t²)/t²→1 quand t→∞, ce qui donnerai que l'integrale tend vers l'∞?
merci beaucoup
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Jeet-chris
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Envoyé: 28.07.2007, 23:27
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Salut.
Euh... non. sin(t²) n'a pas de limite en +∞, elle y oscille encore pas mal. ^^
En revanche tu pourrais dire par exemple que |sin(t²)|≤1.
Cela implique :
+ Pour le crochet tu peux déterminer la limite en +∞ par encadrement (ou théorème des gendarmes, c'est pareil).
+ Pour l'intégrale, qu'en +∞, vu que t→1/t² est intégrable sur [1;+∞[ ...
@+
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chounette
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Envoyé: 30.07.2007, 13:54
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je suis un peu perdue la... je ne vois pas bien ce qu'il faut faire
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Jeet-chris
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Envoyé: 30.07.2007, 22:19
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Salut.
Récapitulons alors.
Déjà ce que l'on aimerait savoir, c'est si I admet une limite quand t tend vers +∞. D'accord ?
Or :
 = \int_0^t \frac{1}{2x}\times 2 x cos(x^2) dx = \left[ \frac{sin(x^2)}{2x} \right]_0^t - \int_0^t \frac{sin(x^2)}{2x^2} dx)
Donc :
 = \frac{sin(t^2)}{2t} - \int_0^t \frac{sin(x^2)}{2x^2} dx)
Normalement tu en es là.
Comme dis au début, on aimerait savoir si I possède une limite en +∞. Pour cela, on peut regarder séparément les deux termes de l'expression.
A partir de là, en remarquant que |sin(t²)|≤1, je te demande de me démontrer la convergence de ces deux termes.
@+
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chounette
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Envoyé: 31.07.2007, 12:18
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oki alorsd je dirai sans grande conviction que puisque |sin(t²)|≤1, [sin(t²)/2t] converge et que ∫_0^t (sin(x²)/x² dx converge en comparaison avec 1/x² qui converge....?
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Jeet-chris
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Envoyé: 31.07.2007, 17:25
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Salut.
Et pourtant c'est bien ça.
Comme 0≤|sin(t²)/(2t)|≤1/(2t) et que 1/(2t) tend vers 0 en +∞, par encadrement, sin(t²)/(2t) a une limite en +∞ et cette limite est 0.
Par contre fait bien attention à l'intégrale ! Tu ne peux pas dire que l'intégrale de 1/x² converge en 0 !!! Donc on va scinder l'intégrale.
Sur le segment [0;1], sin(x²)/x² est continue, donc y est intégrable.
Puis sur [1;+∞[, 0≤|sin(t²)/(2t²)|≤1/(2t²). Or sur ce semi-ouvert 1/(2t²) est intégrable. Par conséquent sin(t²)/(2t²) y est intégrable en valeur absolue, donc intégrable par définition.
@+
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chounette
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Envoyé: 31.07.2007, 17:59
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oki merci beaucoup!!!!!!!!
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chounette
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Envoyé: 03.08.2007, 14:18
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pour la convergence de l'integrale de sin(x²) je peux utiliser la même methode? merci beaucoup!!
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Jeet-chris
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Envoyé: 03.08.2007, 20:13
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Salut.
Je pense que oui, essaie.
@+
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