séries (rayons de convergence, équations différentielles)

Bonjour je n'arrive pas à faire cet exercice qui me paraît difficile.

a) Ecrire les développements en séries entières des fonctions
Arctan (x) et ln(1+x²)
Préciser les rayons de convergence.

J'ai trouvé les développements mais je suis embetté pour les rayons de convergence je sais qu'il faut calculer an et an+1 mais je ne sais pas ce qu'est an ici.
J'ai Arctang(x)=)= $∑i=1∞(−1)nx2n+12n+1\sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}$
J'ai ln(1+x²)= $∑i=1∞(−1)n+1x2nn\sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{n}$

b) Chercher les solutions développables en séries entière de l'équation différentielle
x(x²+1)y''+(x²-1)y'=1.
Exprimer ces solutions à l'aide des fonctions du a).

c) Résoudre l'équation différentielle
x(x²+1)z'+(x²-1)z=1.
En déduire que l'équation différentielle du b) n'a d'autres solutions que celles déterminées dans la question b).

Voilà je n'arrive pas du tout à faire cet exercice pouvez-vous me donner des indications svp?
Merci.

Salut.

a) Attention quand tu recopies le code LaTeX, il faut changer les indices.

En ce qui concerne la question : une série entière s'exprime sous la forme ∑ $a$ _n $x^n$ . Donc dans tes sommes tu vires le terme $x^n$ et le signe somme pour te retrouver avec le $a_n$ .

Par exemple pour l'arctangente on voit que l'on a les termes pairs nuls et les termes impairs non-nul. Donc : $a_{2n}$ = 0 et $a_{2n+1}$ = $1)^n$ /(2n+1).

Effectivement, vu qu'il y a tout le temps des termes nuls, ça va être dur d'appliquer le théorème de d'Alembert. Une autre idée ?

b) Tu supposes que y est développable en série entière, donc $y(x)=∑n=0+∞anxn\displaystyle y(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n$ , de rayon R non-nul (c'est important pour la suite ce rayon non nul : c'est la base même du raisonnement).

Ensuite tu dérives, donc y'(x) = (?) et y''(x) = (?) et tu remplaces dans l'équation différentielle. A partir de là il faut se débrouiller avec les changements d'indices pour simplifier au mieux l'expression : idéalement il faudrait obtenir un truc du genre ∑ $b$ _n $x^n$ = ∑ $c$ _n $x^n$ avec les $b_n$ exprimés en fonctions des $a_n$ et ∑ $c$ _n $x^n$ un polynôme tout simple.

A partir de là il faut invoquer l'unicité du développement en série entière afin de déterminer une relation de récurrence sur les $a_n$ .

Enfin, les $a_n$ déterminés, tu peux vérifier que le rayon est bien non-nul.

c) Je te laisse résoudre normalement l'équation.

@+

J'avais pas fait attention pour le latex c'est la première fois que je l'utilise.

a) ok merci j'obtiens donc pour ln(1+x²) $a2n=(−1)n2n+1a_{2n}=\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ et $a_{2n+1}=0$
Sinon je n'ai pas d'autre idée enfin si mais je ne pense pas qu'elle soit bonne la voici:
calculer la limite $a_n|^{{1}/{n}}$ quand n tend vers l'infini.
R=1/cette limite.

b) Je vais faire ce calcul.
Juste encore une question.
y'(x)= $∑n=1∞na−nxn−1\sum_{n=1}^\infty {na-{n}x^{n-1}}$
et y''(x)= $∑n=1∞n(n−1)a−nxn−2\sum_{n=1}^\infty {n(n-1)a-{n}x^{n-2}}$
Est-ce que c'est ben ça?

Salut.

a) As-tu le droit d'utiliser cette propriété pour le rayon de convergence ? (est-ce noté dans ton cours)

b) Encore une fois, attention aux indices : n≥2 pour y''.

@+

coucou

a) oui il y a écris que c'est possible si la limite tend vers 0 ou l'ifini.
Donc je pense que oui.
b) ok par contre je n'arrive pas à changer les indices.

Salut.

a) Vu que le rayon vaut 1, ça ne va pas être facile. Rappelle-toi plutôt que le rayon de la primitive d'une série est le même que celui de la série en question. Or comment on obtient facilement les DSE des fonctions proposées ?

b) Normalement tu vas être ramené, si tu développes tout, dans le membre de gauche, à 4 séries dont 2 en $x^{n+1}$ et 2 en $x^{n-1}$ . Il suffit de faire, si on y va bourrin sans avoir l'habitude, de ramener tout ça en $x^n$ : donc d'effectuer les changements p=n+1 et q=n-1 par exemple.

Ensuite, il restera éventuellement un petit problème : on ne commence pas au même n. Dans ce cas on fait sortir des sommes les termes en question tout simplement.

Essaie déjà d'en arriver là.

@+

Coucou.

a) Je ne vois pas du tout.

b) Je trouve

$∑n=2+∞n(n−1)anxn−1+∑n=2+∞n(n−1)anxn+1+∑n=1+∞nanxn+1−∑n=1+∞nanxn−1=1\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1)a_nx^{n-1} + \sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1)a_nx^{n+1} + \sum_{n=1}^{+\infty} na_nx^{n+1} - \sum_{n=1}^{+\infty} na_nx^{n-1} = 1$

Puis en utilisant p=n+1 et q=n-1

$∑q=0+∞q(q+1)aq+1xq+∑p=0+∞(p−1)(p−2)ap−1xp+∑p=0+∞(p−1)ap−1xp−∑q=0+∞(q+1)aq+1xq=1\displaystyle \sum_{q=0}^{+\infty} q(q+1)a_{q+1}x^q +\sum_{p=0}^{+\infty} (p-1)(p-2)a_{p-1}x^p + \sum_{p=0}^{+\infty} (p-1)a_{p-1}x^p - \sum_{q=0}^{+\infty} (q+1)a_{q+1}x^q = 1$

Mais je ne suis pas sûr de ce que j'ai fait.

Edit de J-C : diminution de la taille de la ligne en LaTeX, parce que ça prenait un peu trop de place (suppressions de parenthèses inutiles, etc.).

Salut.

a) Par exemple pour calculer le DSE de l'arctangente, on part de sa dérivée qui a un DSE de rayon 1 :

$11+x2=∑n=0+∞(−1)nx2n\displaystyle \frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{2n}$

Puis on primitive, ce qui fournit :

$arctan(x)=∑n=0+∞(−1)n2n+1x2n+1\displaystyle arctan(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$

Donc par primitivation, le DSE de l'arctangente a pour rayon 1.

b) Attention aux indices encore une fois. Comme 2≤n :

3≤p (=n+1);
1≤q (=n-1).

Sinon c'est bon.

@+

coucou

a) Donc pour ln(1+x²)
J'obtiens $2x1+x2=∑n=0∞(1)n+1x2n−1\frac{2x}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^\infty {(1)^{n+1}x^{2n-1}}$
on primitive:
$ln(1+x^{2})=\sum_{n=0}^\infty {(1)^{n+1}\frac{x^{2n}}{n}$
qui a pour rayon 2 je pense.

b) donc si je comprend bien les somme en fonctions de p commence à 3 et les sommes en fonctions de q commence à 1, est-ce bien ça?

Salut.

a) Ce serait bien d'essayer de démontrer ce que tu avances.

En partant du DSE de 1/(1-u) on en déduit le DSE de ln(1-u) de rayon R=1 (je pense que ce résultat fait partie de ton cours).

Ensuite par changement de variable u=-x² on en déduit le DSE de ln(1+x²).

Comme -R < u < R, -R < -x² < R.
Alors -√(R) < x < √(R).
Vu que R=1, on en déduit que -1 < x < 1, d'où le rayon du DSE de ln(1+x²) vaut 1.

A toi d'essayer de présenter ça proprement ensuite. Il y a plusieurs manières d'arriver au résultat, à toi de choisir la plus rapide. J'en ai juste présenté une.

b) Oui c'est bien ça.

@+

salut.

a) merci.

b) Je ne vois pas comment faire après pour que p et q commencent à 0 car je pense qu'il faut que les deux indices comencent à 0.faut-il mettre les 4 sommes en deux sommes?

Salut.

b) Vu que l'on a du $a_{p-1}$ ce serait bien de commencer toutes les sommes à 1. Donc comme je l'ai déjà écrit, essaye de rajouter les termes manquant : si ils sont nuls tant mieux, sinon il suffit de le rajouter dans les 2 membres de l'équation. Une fois fait, tu pourras regrouper les 4 sommes et continuer l'aventure.

@+

salut

b) Je n'arrive pas à commencer les sommes par 1. Peux-tu m'aider encore un peu stp?
Merci.

Salut.

Je repars de la formule de ton message plus en modifiant les indices :

$∑q=1+∞q(q+1)aq+1xq+∑p=3+∞(p−1)(p−2)ap−1xp+∑p=3+∞(p−1)ap−1xp−∑q=1+∞(q+1)aq+1xq=1\displaystyle \sum_{q=1}^{+\infty} q(q+1)a_{q+1}x^q + \sum_{p=3}^{+\infty} (p-1)(p-2)a_{p-1}x^p + \sum_{p=3}^{+\infty}(p-1)a_{p-1}x^p - \sum_{q=1}^{+\infty} (q+1)a_{q+1}x^q = 1$

On remarque que :

$∑p=3+∞(p−1)(p−2)ap−1xp=∑p=1+∞(p−1)(p−2)ap−1xp\displaystyle \sum_{p=3}^{+\infty} (p-1)(p-2)a_{p-1}x^p = \sum_{p=1}^{+\infty} (p-1)(p-2)a_{p-1}x^p$

Car si p=1 ou p=2, les facteurs p-1 et p-2 annulent l'expression.

Puis pour l'autre somme en p on remarque que si p=1 le terme vaut 0, mais si p=2, alors le terme vaut $2-1)a_{2-1}$ x² = $a_1$ x².

On en déduit que :

$∑p=3+∞(p−1)ap−1xp=−a1x2+∑p=1+∞(p−1)ap−1xp\displaystyle \sum_{p=3}^{+\infty}(p-1)a_{p-1}x^p = - a_1 x^2 + \sum_{p=1}^{+\infty}(p-1)a_{p-1}x^p$

Il n'y a plus qu'à remplacer tout ça et à regrouper les sommes ensuite.

@+

J'obtien donc
$∑q=1+∞(q+1)qaqxq+∑p=1+∞(p−1)(p−2)ap−1xp+∑p=1+∞(p−1)ap−1xp−a1x2−∑q=1+∞(q+1)aqxq=1\sum_{q=1}^{+\infty}{(q+1)qa_qx^{q}}+\sum_{p=1}^{+\infty}{(p-1)(p-2)a_{p-1}x^{p}}+\sum_{p=1}^{+\infty}{(p-1)a_{p-1}x^{p}}-a_1x^{2}-\sum_{q=1}^{+\infty}{(q+1)a_qx^{q}}=1$

Ensuite je ne vois pas trop comment regroupé j'ai commencé à faire cela:

$∑q=1+∞qaqxq+∑p=1+∞(p−1)ap−1xp(1+(p−2)ap−1xp)−a1x2\sum_{q=1}^{+\infty}{qa_qx^{q}}+\sum_{p=1}^{+\infty}{(p-1)a_{p-1}x^{p}}(1+(p-2)a_{p-1}x^{p})-a_1x^{2}$

Je doute que cela soit juste.

Salut.

Il faudrait écrire une égalité pour comprendre ce que tu as calculé, mais le problème resterait le même : $x^p$ aurait dû se retrouver en facteur.

Que l'on écrive p ou q, ce qui compte c'est que les 2 se baladent de 1 à +∞. Donc remplace p et q par n si tu préfères (p=n et q=n), et regroupe tout.

Je remplace tout avec des n déjà :

$∑n=1+∞n(n+1)an+1xn+∑n=1+∞(n−1)(n−2)an−1xn+∑n=1+∞(n−1)an−1xn−∑n=1+∞(n+1)an+1xn=a1x2+1\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} n(n+1)a_{n+1} x^n + \sum_{n=1}^{+\infty} (n-1)(n-2)a_{n-1} x^n + \sum_{n=1}^{+\infty} (n-1)a_{n-1}x^n - \sum_{n=1}^{+\infty} (n+1)a_{n+1} x^n = a_1 x^2 + 1$

Comme chaque terme du membre de gauche est sous un ∑ identique, on passe tout dessous.

$∑n=1+∞[n(n+1)an+1xn+(n−1)(n−2)an−1xn+(n−1)an−1xn−(n+1)an+1xn]=a1x2+1\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \left[ n(n+1)a_{n+1} x^n + (n-1)(n-2)a_{n-1} x^n + (n-1)a_{n-1} x^n - (n+1)a_{n+1} x^n \right] = a_1 x^2 + 1$

Ensuite on factorise par $x^n$ .

$∑n=1+∞[n(n+1)an+(n−1)(n−2)an−1+(n−1)an−1−(n+1)an+1]xn=a1x2+1\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \left[ n(n+1)a_n + (n-1)(n-2)a_{n-1} + (n-1)a_{n-1} - (n+1)a_{n+1} \right] x^n = a_1 x^2 + 1$

Et on voit que l'on peut factoriser encore par $a_{n-1}$ et $a_{n+1}$ :

$∑n=1+∞[(n−1)2an−1+(n2−1)an+1]xn=a1x2+1\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \left[ (n-1)^2 a_{n-1} +(n^2 - 1)a_{n+1} \right] x^n = a_1 x^2 + 1$

Plus qu'à utiliser l'unicité du DSE pour en déduire les $a_n$ (pour n=1 : (?); pour n=2 : (?); pour n≥3 : (?)).

Restera le $a_0$ . Peut-être en prenant une valeur particulière de x ?

@+

Edit : Grrr... je n'aurais pas dû faire confiance à ta formule, c'était des $a_{q+1}$ et non des $a_q$ , ce qui m'a fait écrire des bêtises. J'ai donc remplacé les $a_n$ en $a_{n+1}$ .

Salut.
Merci je comprend mieux.

pour n=1 on trouve $a_1=-1$ pour n=2 c'est arbitraire je pense.
pour n>=3 $an=−n−2nan−2a_n=-\frac{n-2}{n}a_{n-2}$ Je suis pas trop sur.

Salut.

N'oublie pas de calculer $a_0$ surtout.

Tu trouves ça arbitraire pour n=2 ?

A droite le coefficient du monôme de degré 2 est $a_1$ .
A gauche ce coefficient est (2-1)² $a_{2-1}$ + (2² $1)a_{2+1}$ = $a_1$ + $3a_3$ .

On égalise, ce qui donne : $a_1$ + $3a_3$ = $a_1$ . Donc on en déduit que $a_3$ = 0.

Ensuite ta formule de récurrence montre qu'il y a plein de termes impairs qui sont nuls alors, non ?

D'ailleurs c'est une mauvaise idée de décaler tes indices comme ça. On ne sais plus où n commence (tu ne l'as pas précisé).

Pour n≥3 le monôme de dégré n à gauche a pour coefficient (n-1)² $a_{n-1}$ + (n² $1)a_{n+1}$ = 0. On en déduit donc, comme tu l'as écrit (enfin sans décaler les indices), que $an+1=−n−1n+1an−1a_{n+1} = -\frac{n-1}{n+1} a_{n-1}$

Et pour n=1, rebelote.

A gauche le monôme de degré 1 vaut 0, à droite il vaut 0, donc 0=0, on n'en déduit rien.

Le $a_0$ définira les termes pairs.

@+

Salut.
ok merci.