Devoir maison, les suites...


  • M

    Bonjour.

    J'ai un devoir maison dont le premier exercice porte sur les suites, mais je n'arrive pas à le résoudre car je ne sais pas comment m'y prendre car je n'ai jamais eu ce type d'exercice auparavant...

    Voici l'énoncé :

    (Un(U_n(Un) est une suite définie sur lN et croissante.
    (Vn(V_n(Vn) est une suite définie sur lN, à termes strictement positifs et croissante.

    Pour tout n appartenant à lN, on pose WWW_n=(1/2)U=(1/2)U=(1/2)U_n−1/(3Vn-1/(3V_n1/(3Vn).
    Etudier les sens de variations de la suite (Wn(W_n(Wn).

    J'ai d'abord voulu séparer 1/2 de UnU_nUn et −1/(3Vn-1/(3V_n1/(3Vn) en voulant trouver le sens de variation de WWW_{n+1}−Wn-W_nWn en faisant comme ceci :

    WWW{n+1}−Wn-W_nWn = ((1/2)U((1/2)U((1/2)U{n+1}−1/(3V-1/(3V1/(3V{n+1}))−((1/2)U))-((1/2)U))((1/2)Un−1/(3Vn-1/(3V_n1/(3Vn))
    WWW
    {n+1}−Wn-W_nWn = 1/2(U1/2(U1/2(U
    {n+1}−U-UUn)−1/3((1/V)-1/3((1/V)1/3((1/V{n+1})+(1/Vn)+(1/V_n)+(1/Vn))

    Ensuite, comme (Un(U_n(Un) est croissante et que 1/2>0, on obtient que 1/2(U1/2(U1/2(U_{n+1}−Un-U_nUn) est croissant.

    Puis, j'ai voulu faire de même pour la seconde partie avec (Vn(V_n(Vn) mais en comparant VVV_{n+1}/Vn/V_n/Vn à 1 pour avoir le sens de variation mais je me perds totalement et je doute que ce soit la bonne manière pour trouver les sens de variations de (Wn(W_n(Wn) ...
    Et je ne vois pas d'autres solutions pour résoudre ce problème :s, à l'aideee !!

    Merci à celui/celle qui se penchera sur mon cas.

    Cécile.


  • J

    Salut.

    Non, (Un(U_n(Un) croîssant n'implique pas le fait que UUU{n+1}−Un-U_nUn soit croissant, mais que UUU{n+1}−Un-U_nUn est positif.

    En revanche, tu emploies la bonne méthode, et en poussant un petit plus ton calcul tu devrais y arriver :

    wn+1−wn=12(un+1−un)+13(1vn−1vn+1)w_{n+1}-w_{n} = \frac{1}{2}\left(u_{n+1}-u_{n}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{v_{n}}-\frac{1}{v_{n+1}}\right)wn+1wn=21(un+1un)+31(vn1vn+11)

    Tu avais fait une erreur de signe en développant la parenthèse. Met au même dénominateur le terme de droite, et donc que peux-tu dire du signe de WWW_{n+1}−Wn-W_nWn ? 😄

    @+


  • M

    Bonjour, merci pour la réponse, j'ai retravaillé sur cet exercice et grâce au petit coup de pouce je pense l'avoir terminer ... 😄

    J'arrive au fait que . 1/2(Un+1-Un) est positif.
    . 1/3((1/Vn)-(1/Vn+1))=1/3((Vn+1-Vn)/(Vn×Vn+1)) est positif également puisqu'on dit dans l'énoncé que V est croissante.

    Donc finalement je conclue que le signe de WnWn est positif et que la suite W est donc croissante, c'est bien ça ? car dans l'énoncé il est dit : "Etudier les variations de la suite W" alors je me demandais si il n'y avait pas d'autre variation et si la suite W n'était pas juste croissante... 😕

    En tout cas merci beaucoup pour l'aide d'avant car au moins j'ai continuer mon résonnement jusqu'au bout et j'espère qu'il est bon...


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