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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
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Suite intermédiaire

  - catégorie non trouvée dans : 1ère
Envoyé: 26.04.2007, 11:38

Constellation
rose022

enregistré depuis: janv.. 2007
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Bonjour, j'ai un petit souci avec cet exercice. J'ai commencé à le faire mais ensuite je suis bloquée.

Une suite u est définie par son terme u0 et la relation de récurrence :
un+1= 1/3 un + 2 pour tout n de ensn.


1. Que peut-on dire de la suite u dans le cas où u0 = 3 ?

2. On suppose que u0 est différent de 3.
α étant un nombre réel, on définit une suite v en posant vn = un + α pour tout n de ensn.

a. Montrer qu'il existe une valeur de α pour laquelle vn est une suite géométrique de raison 1/3.
Dans la suite de l'exercice, on donne la valeur trouvée à α.

b. Exprimer vn puis un en fonction de n .

c. Calculer en fonction de n, la somme
S = u0 + u1 + ... + un


J'ai fait:
1. La suite est constante:
u1 = 1/3 u0 + 2 = 3
u2 = 1/3 u1 + 2 = 3 ....

2. vn+1 = un+1 + α = 1/3 un + 2 + α = 1/3 (un - α ) + 2 + α = 1/3 un + 2 + 2/3α
Si vn doit être une suite géométrique, alors 2 + 2/3α = 0 alors α = -3 et donc vn+1 = 1/3 un .

Mais là je ne sais pas si ce que j'ai fait, tiens vraiment la route !
Et pour la suite de l'exercice je ne sais pas comment faire.
Merci.

modifié par : Jeet-chris, 26 Avr 2007 - 19:01
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Envoyé: 26.04.2007, 19:00

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Salut.

1) Effectivement. Je te propose cette petite démonstration.

+ Cherchons les valeurs de un telles que (un) soit une suite constante, c'est-à-dire telles que pour tout n on ait la relation un+1 = un.

un+1 = un ⇔ 1/3 un+2 = un ⇔ un = 3

+ Donc si u0 = 3, (un) est constante et pour tout n, un = 3.


2.a) EDIT : ce que j'ai écrit dans cette question est du grand n'importe quoi, donc à ne pas lire.

Il y a un truc louche dans ta démonstration, je n'arrive pas à comprendre tes calculs. Une fois arrivée là, tu pouvais t'arrêter :

vn+1 = un+1+α = 1/3 un+2+α

Alors effectivement si 2+α = 0, donc si α = -2, la suite est géométrique.

2.b) Est-ce que tu pourrais me donner les caractéristiques d'une suite géométrique de raison q et de premier terme t0 ? Dans ce cas comment écrire vn ?

@+

modifié par : Jeet-chris, 26 Avr 2007 - 21:13
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Envoyé: 26.04.2007, 19:57

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rose022

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Salut!
v n = q n * u0
v n+1 = v n * q
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Envoyé: 26.04.2007, 21:12

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Salut.

2.a) PARDON !!!! Tu avais raison. Je me suis planté comme un gros nul. Ta façon de présenter est un peu maladroit, et donc je n'avais pas compris. Une rédaction un peu plus clair :

Cherchons α tel que vn+1=1/3*vn :

vn+1=1/3*vn ⇔ un+1+α=un

Et effectivement tout calculs faits, on trouve α=-3. Encore pardon, tu avais bon.

2.b) Et comme d'après la question précédente "(vn) est une suite géométrique de raison 1/3", tu en déduis ?

@+
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Envoyé: 26.04.2007, 21:27

Constellation
rose022

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là j'ai du mal à comprendre!
Comme v n+1 = 1/3 vn ⇔ u n+1 + α = u n + α
Donc v n+1 = un + α
Mais je n'arrive pas à mettre vn et un en fonction de n
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Envoyé: 26.04.2007, 21:32

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Salut.

ARGHHH ! Je suis fou ! Je récris proprement et sans faute cette fois :

vn+1 = 1/3*vn ⇔ un+1+α=1/3*(un+α )
vn+1 = 1/3*vn ⇔ (1/3*un+2)+α = 1/3*(un+α )
vn+1 = 1/3*vn ⇔ 2+α = 1/3*α
vn+1 = 1/3*vn ⇔ α = -3

Voilà, merci de m'avoir corrigé. icon_biggrin

@+
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Envoyé: 26.04.2007, 21:36

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dernière visite: 24.02.13
Salut.

2.b) Tu m'as écrit vn= qn*v0, et on sait que la raison q = 1/3. Que veux-tu de plus ?

Puis vn = un+α, donc un = vn-α, et puis voilà.

@+
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Envoyé: 26.04.2007, 21:37

Constellation
rose022

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Merci mais comment je fais pour exprimer vn et un en fonction de n ?
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Envoyé: 26.04.2007, 21:39

Constellation
rose022

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Désolé quand j'ai écrit mon message le tien n'était pas encore affiché !
Merci !
Merci !
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