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micmac
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Envoyé: 06.04.2007, 14:50
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Bonjour !
Je suis en première année BTS et j'ai du mal à comprendre une question qu'on me pose dans un exercice sur les matrices, voici le sujet :
On considère la matrice )
Dans la première question il faut que je calcule A² et A³, j'ai réussi à le faire :
 \qquad A^3=\left( {\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 18 & -17 & 18 \\ 9 & -9 & 10 \\ \end{array}} \right))
2. On admet que pour tout entier naturel n non nul, il existe un nombre réel an tel que An est de la forme :
)
Calculer An+1 = An × A. En déduire la relation : an+1 = 3 - 2an.
Je ne comprends pas ce qu'il faut que j'écrive pour répondre, comme j'ai déjà calculé A² et A³ j'ai compris que an = 9 mais je ne sais pas trop comment le prouver. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider, svp ?
Merci d'avance.
EDIT de J-C : mise en LaTeX des matrices.
modifié par : micmac, 13 Avr 2007 - 20:22
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Jeet-chris
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Envoyé: 06.04.2007, 19:15
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Salut.
Tu peux essayer de démontrer ce résultat par récurrence par exemple. 
@+
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micmac
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Envoyé: 07.04.2007, 13:24
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En quoi consiste cette méthode ? Je ne me souviens pas avoir étudié cette notion mais peut-être que si je vois comment elle fonctionne ça me rappellera quelque chose
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Jeet-chris
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Envoyé: 08.04.2007, 12:01
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Modérateur
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Salut.
Tu n'as jamais vu un raisonnement qui se présente de la manière suivante ?
Soit P(n) la propriété "...", n∈lN.
+ P(0) est vraie.
+ Supposons P(n) vraie pour un n donné. P(n) => P(n+1).
Le principe de récurrence étant vérifié, P(n) est vraie pour tout n∈lN.
Exemple :
Soit une suite (un) définie par u0=1 et un+1 = 2un.
Le but est de démontrer que pour tout n∈lN, un = 2n.
Montrons ce résultat par récurrence.
Soit P(n) la propriété "un = 2n", n∈lN.
+ 20=1=u0, donc P(0) est vraie.
+ Supposons P(n) vraie pour un n donné.
un+1 = 2un = 2*2n = 2n+1, donc P(n) => P(n+1).
Le principe de récurrence étant vérifié, P(n) est vraie pour tout n∈lN.
As-tu compris ?
@+
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micmac
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Envoyé: 09.04.2007, 14:19
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ok mais cette méthode va me servir à calculer An+1 = An × A ou à déduire la relation an+1 = 3 - 2an ou les deux ?
j'ai essayé quelque chose :
Soit P(n) la propriété "An+1 = An × A"
A1 × A = A² = An+1 donc P(1) est vraie
Supposons P(n) vraie pour un n donné
An × A = An+1
déjà je pense que ce que j'ai écrit plus haut est faux mais ensuite je n'arrive pas à faire la même chose que dans l'exemple que vous m'avez donné, j'ai essayé de faire an × a = 3 - 2an mais c'est complètement faux  en plus je crois que je m'embrouille je ne sais plus si à ce moment là on parle de an ou de an
modifié par : micmac, 09 Avr 2007 - 14:31
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raycage
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Envoyé: 10.04.2007, 22:10
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Salut micmac,
Non an n'est pas égal à 9, c'est a3 qui est égal à 9 (par rapport à ton premier mesage).
En fait pour ce qu'on te demande tu n'as même pas besoin de faire de récurrence.
Tu as la forme de An en fonction de an. Il te suffit de multiplier à droite An par A et tu vas obtenir An+1 dans laquelle la première ligne sera 1 0 0 et les autres lignes s'exprimeront en fonction de an.
Il te suffit alors de constater que An+1 est de la même forme que An et d'en déduire an+1 (que tu pourras tout simplement lire à la troisième ligne de la première colonne).
Effectivement tu t'étais embarqué dans une mauvaise piste.
Pour tout bagage on a vingt ans On a l'expérience des parents On se fout du tiers comme du quart On prend le bonheur toujours en retard. [Ferré]
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micmac
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Envoyé: 12.04.2007, 14:52
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Ok super merci j'ai réussi à répondre ! 
J'ai presque fini mon exercice il ne me reste qu'une seule question où je bloque un peu, est-ce que vous pourriez m'aider svp ?
Dans les questions qui ont suivi, on m'a donné la suite géométrique (bn) définie pour tout entier n non nul par : bn = a n - 1
j'ai réussi à trouver son premier terme b1 = a1 - 1 = 3 - 1 = 2 et sa raison q = 2
j'ai également exprimé bn et an en fonction de n :
bn = b1.qn = 2.2n et an = bn + 1 d'où an = 1+2.2n
(j'espère ne pas m'être trompé)
Mais maintenant on me demande d'en déduire An en fonction de n et je sèche un peu... est-ce que quelqu'un pourrait m'indiquer le chemin à suivre ?
Mille mercis d'avance
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micmac
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Envoyé: 19.04.2007, 20:27
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svp c'est la dernière question j'aimerais beaucoup qu'on m'aide pour que je puisse finir mon devoir  pouvez-vous me conseiller ? je ne pense pas que ce soit simple au point de remplacer bn = an - 1 par Bn = An - 1 ?
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Jeet-chris
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Envoyé: 20.04.2007, 23:10
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Modérateur
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Salut.
Ben il est fini le problème. Tu as An en fonction de an, tu as an en fonction de n, donc il suffit de remplacer les an dans l'expression de An.
 \text{ et } a_n = 1+2^{n+1})
@+
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micmac
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Envoyé: 21.04.2007, 13:42
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a ok merci ! mais alors est-ce que ça veut dire que je me suis trompé pour an ? parce que j'ai trouvé an = 1+2.2n dans mon message plus haut  (par rapport à ce que vous venez d'écrire : an = 1+2n+1)
modifié par : micmac, 21 Avr 2007 - 13:42
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Jeet-chris
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Envoyé: 21.04.2007, 13:57
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Modérateur
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Salut.
Elle est où la différence ? 2*2n = 2n+1 normalement.
@+
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micmac
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Envoyé: 21.04.2007, 14:46
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a oui c'est vrai oups !! merci pour toute votre aide !
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