Exercice derivation un peu compliqué...

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	Exercice derivation un peu compliqué...
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titi2609	Envoyé: 23.02.2007, 17:58
Une étoile enregistré depuis: fév. 2007 Messages: 22 Status: hors ligne dernière visite: 25.02.07	Bonjour, J'ai un DM a rendre bientot et je bloque sur un exercice: Dans une sphère de rayon R, on inscrit un cyclindre de hauteur h. Les deux bases du cylindre sont des cercles de la shère de rayon r. 1) Exprimer r en fonction de R et H Ici pas de soucis, j'ai représenté une coupe de la situation selon la hauteur du cylindre, on retrouve donc un triangle rectangle, on applique alors le théoreme de Pythagore et on trouve $r=\sqrt{ R^2 -\frac{h^2}{4}}$ 2)a)Calculez le vlume du cylindre en fonction de h Ici aussi pas de probleme, d'apres la formule du volume d'un cylindre πr²h, j'ai remplacé r² par ce que j'avais dans la 1), ce qui donne : $V=\pi\times (R^2 -\frac{h^2}{4})\times h$ B)Pour quelle valeur de h le volume est il maximal ? c'est ici que je bloque, je pense qu'il faut utiliser la dérivation car jusqu'à present on ne l'a pas utiliser mais je ne comprend pas comment... Merci de votre aide miu :j'ai réécris tes formules pour une meilleure lisibilité modifié par : miumiu, 24 Fév 2007 - 00:08


miumiu	Envoyé: 23.02.2007, 18:40
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	coucou alors on a pour h positif bien sur $V(h) = \frac{\pi\times (4R^2- h^2)\times h}{4}$ $V(h) = \frac{\pi\times 4R^2\times h- \pi\times h^3}{4}$ en effet il va falloir étudier les variations de V donc calculer la dérivée tu sais faire ? modifié par : miumiu, 24 Fév 2007 - 00:02

titi2609	Envoyé: 23.02.2007, 23:52
Une étoile enregistré depuis: fév. 2007 Messages: 22 Status: hors ligne dernière visite: 25.02.07	ben je pense mais je comprens pas pourquoi le tout est sur 4 ?

miumiu	Envoyé: 24.02.2007, 00:00
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	a oui mince excuse c'est $4 R^2$ tu reprends ton r je modifie le post

miumiu	Envoyé: 24.02.2007, 00:05
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	c'est un produit donc le 4 est au dénominateur ok ?!

titi2609	Envoyé: 24.02.2007, 00:12
Une étoile enregistré depuis: fév. 2007 Messages: 22 Status: hors ligne dernière visite: 25.02.07	oui mais le 4 il est pas dans le produit il est dans la parenthese...en developpant ça donne πR²h - (πh³)/4 ou (4πR²h-πh³)/4 non?

miumiu	Envoyé: 24.02.2007, 00:18
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	et bien ce n'est pas ça que je viens de marquer ? j'avais juste oublié le 4 devant le R²

miumiu	Envoyé: 24.02.2007, 00:20
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	je ne vois pas ce qui te gène en fait ab(1/c) = (a*b)/c

titi2609	Envoyé: 24.02.2007, 00:26
Une étoile enregistré depuis: fév. 2007 Messages: 22 Status: hors ligne dernière visite: 25.02.07	ah oui désolé.. donc il faut calculer la dérivée de (πx4R²xh-πh³)/4 ? Mais c'est quoi la dérivée de π ?

miumiu	Envoyé: 24.02.2007, 00:28
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	$\pi$ c'est un réel (exceptionnel mais c'est un réel quand même) ^^ donc la dérivée d'un réel c'est ...

titi2609	Envoyé: 24.02.2007, 00:33
Une étoile enregistré depuis: fév. 2007 Messages: 22 Status: hors ligne dernière visite: 25.02.07	lol oui pas con donc la dérivée c'es : (8πRh - 3πh²) /4 ?

miumiu	Envoyé: 24.02.2007, 00:35
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	non ce n'est pas du $h^2$ que tu as comme premier terme au numératuer c'est du $h$ donc la dérivée c'est ...

titi2609	Envoyé: 24.02.2007, 00:37
Une étoile enregistré depuis: fév. 2007 Messages: 22 Status: hors ligne dernière visite: 25.02.07	mais c'est R² que j'ai dérivé dans le 1ere terme ...

miumiu	Envoyé: 24.02.2007, 00:39
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	non en plus j'ai bien spécifié c'est V(h) ce qui varie ce n'est pas R mais h !!

miumiu	Envoyé: 24.02.2007, 00:40
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	tu ne dois toucher au R² c'est un réel comme $\pi$ donc la dérivée est ...

titi2609	Envoyé: 24.02.2007, 00:42
Une étoile enregistré depuis: fév. 2007 Messages: 22 Status: hors ligne dernière visite: 25.02.07	ah oui ! merci de ta patience en tout cas (mais faut me comprendre il est tard lol) donc je reprend la dérivée c'est donc : (πx4R² - 3πh²)/4 ?

miumiu	Envoyé: 24.02.2007, 00:44
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	oui voilà très bien (il n'est pas tard il est tôt ^^) $V'(h) = \frac{\pi 4 R^2 - 3\pi h^2}{4}$

miumiu	Envoyé: 24.02.2007, 00:50
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	bon alors maintenant tu vas me faire le tableau de variations ensuite tu vas répondre a cette question A un extremum le coefficient directeur de la tangente vaut combien ? ps : je vais dormir @++ peut être modifié par : miumiu, 24 Fév 2007 - 00:51

titi2609	Envoyé: 24.02.2007, 00:51
Une étoile enregistré depuis: fév. 2007 Messages: 22 Status: hors ligne dernière visite: 25.02.07	ouf ! bon ensuite je suppose qu'il faut trouver les valeur de h pour que V' s'annule ?

titi2609	Envoyé: 24.02.2007, 00:53
Une étoile enregistré depuis: fév. 2007 Messages: 22 Status: hors ligne dernière visite: 25.02.07	ok bonne nuit, je vais essayer. @++

miumiu	Envoyé: 24.02.2007, 00:54
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	oui fait ton tableau avec tes limites je sais bien que ce n'est pas forcément demandé mais bon si tu expliques bien pourquoi tu dois résoudre V'(h) = 0 pour répondre a l'exercice tu peux te passer du tableau

titi2609	Envoyé: 24.02.2007, 01:35
Une étoile enregistré depuis: fév. 2007 Messages: 22 Status: hors ligne dernière visite: 25.02.07	Bon j'y arrive pas du tout....je comprend pas comment on trouve les valeur de h pour annuler V'...jvais me coucher. Merci encore

miumiu	Envoyé: 24.02.2007, 08:36
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	bon ok ce n'est pas grave on va le faire ensemble $V'(h) = \frac{\pi 4 R^2 - 3\pi h^2}{4}$ donc $V'(h) =0$ ⇔ $\frac{\pi 4 R^2}{4} = \frac{3 \pi h^2}{4}$ ⇔ (on multiplie par $4$ ) $\pi 4 R^2 = 3 \pi h^2$ ⇔ (on divise par $\pi$ ) $4 R^2 = 3 h^2$ ⇔ (on isole le $h^2$ ) $\frac{4 R^2}{3} = h^2$ maintenant il faut prendre la racine h est toujours positif donc tu n'as qu'une seule solution je te laisse finir dis moi si c'est ok

titi2609	Envoyé: 24.02.2007, 18:34
Une étoile enregistré depuis: fév. 2007 Messages: 22 Status: hors ligne dernière visite: 25.02.07	On trouve donc h s'annule pour h= (2R√3)/3 et h= -(2R√3)/3 Mais comme h est toujours positif la seule solution est donc h= (2R√3)/3. V a donc pour valeur maximale pour h= (2R√3)/3. (j'éspère que c'est ça )

miumiu	Envoyé: 24.02.2007, 22:43
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	il faut que tu le prouves qu'est ce qui te dit que ce n'est pas le minimum (je sais bien que c'est le maximum mais je fais la prof là ^^ ) il faut que tu fasses le tableau pas le choix pour prouver que la fonction est strictement croissante puis strictement décroissante donc que ta valeur est bien le maximum modifié par : miumiu, 24 Fév 2007 - 22:43

titi2609	Envoyé: 25.02.2007, 00:12
Une étoile enregistré depuis: fév. 2007 Messages: 22 Status: hors ligne dernière visite: 25.02.07	ok mais je prend quoi pour la fonction? parce que avec π et R ???

titi2609	Envoyé: 25.02.2007, 00:16
Une étoile enregistré depuis: fév. 2007 Messages: 22 Status: hors ligne dernière visite: 25.02.07	ah non c'est bon j'ai compris ...jfais ça et je le poste

miumiu	Envoyé: 25.02.2007, 00:28
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	ok j'attends un peu

titi2609	Envoyé: 25.02.2007, 00:36
Une étoile enregistré depuis: fév. 2007 Messages: 22 Status: hors ligne dernière visite: 25.02.07	voila :

miumiu	Envoyé: 25.02.2007, 00:41
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	c'est forcément faux pour avoir un maximum la fonction doit être croissante puis décroissante ...

titi2609	Envoyé: 25.02.2007, 00:42
Une étoile enregistré depuis: fév. 2007 Messages: 22 Status: hors ligne dernière visite: 25.02.07	ah mais oui .....donc j'ai juste a inverser et c'est bon ?

miumiu	Envoyé: 25.02.2007, 00:45
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	ba oui mais bon il faut le prouver en étudiant le signe de la dérivée je vais aller dormir là +++

titi2609	Envoyé: 25.02.2007, 00:47
Une étoile enregistré depuis: fév. 2007 Messages: 22 Status: hors ligne dernière visite: 25.02.07	mais la tableau de signe c'es pas l'etude de son signe ....ça m'embrouille tout ça ! bon on revois ça demain ok ? bonne nuit +++

miumiu	Envoyé: 25.02.2007, 11:05
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	re alors oui si tu arrives à mon prouver que la fonction est croissante puis décroissante comme le dit ton tableau de variation je te laisse tranquile le tableau c'est la conclusion il vient à la fin modifié par : miumiu, 25 Fév 2007 - 11:06

titi2609	Envoyé: 25.02.2007, 12:24
Une étoile enregistré depuis: fév. 2007 Messages: 22 Status: hors ligne dernière visite: 25.02.07	Alors, je suis pas sur mais j'essaye quand même... si on ordonne la fonction on obtient -(3πh²)/4+(π4R²)/4 , il s'agit alors d'une fonction du second degré avec avec a<0 (a= -3πh²)/4) donc la courbe représentative de la fonction est une parabole tournée vers le bas, elle est donc croissante puis décroissante.

miumiu	Envoyé: 25.02.2007, 17:33
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	$V'(h) = \frac{\pi 4 R^2 - 3\pi h^2}{4}$ donc $V'(h) \ge 0$ ⇔ $\frac{\pi 4 R^2}{4} \ge \frac{3 \pi h^2}{4}$ ⇔ (on multiplie par $4$ ) $\pi 4 R^2 \ge 3 \pi h^2$ ⇔ (on divise par $\pi$ ) $4 R^2 \ge 3 h^2$ ⇔ (on isole le $h^2$ ) $\frac{4 R^2}{3} \ge h^2$ grace à l'ensemble de définition on peut dire $\frac{2\sqrt{3} R}{3} \ge h$ (soit $h \le \frac{2\sqrt{3} R}{3}$ )

miumiu	Envoyé: 25.02.2007, 17:34
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	c'est comme ça que tu dois faire je te laisse finir maintenant faire les conclusions et faire ton tableau

titi2609	Envoyé: 25.02.2007, 18:21
Une étoile enregistré depuis: fév. 2007 Messages: 22 Status: hors ligne dernière visite: 25.02.07	ok merci, donc pour tout mettre en ordre , je calcule la dérivée, je trouve les valeur de h qui annule la derivée, j'étudie le signe de h (comme tu l'as ait en dernier) je fais mon tableau, et je conclu ?

miumiu	Envoyé: 25.02.2007, 18:25
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	oui tu fais ton tableau de variations et tu dis la fonction est strictement croissante avant la valeur qui annule la dérivée elle est strictement décroissante après cette valeur donc on a à faire à un maximum

titi2609	Envoyé: 25.02.2007, 18:34
Une étoile enregistré depuis: fév. 2007 Messages: 22 Status: hors ligne dernière visite: 25.02.07	et dernière question, c'estq uoi l'ensemble de définition ?