Barycentres et triangles dans l'espace

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	Barycentres et triangles dans l'espace

bijour	Envoyé: 19.02.2007, 13:04
enregistré depuis: févr.. 2007 Messages: 9 Status: hors ligne dernière visite: 06.05.07	Bonjour j'ai l'exercice suivant à résoudre mais ne n'y arrive pas :( Soient trois points de l'espace A B C de coordonnées (x_a,y_a,z_a), (x_b,y_b,z_b), (x_c,y_c,z_c), et un point G (x_g,y_g,z_g). Ce point est le barycentre de ((A,α),(B,β),(C,γ)) Trouver α,β,γ en fonction des coordonnées des points A B et C Je pensais utiliser le fait que αGA + βGB + γGC =0 (en vecteurs) et donc avoir un système de trois équations en prenant chacune des composante de ces trois vecteurs à trois inconnus mais la seule solution est α=β=γ=0 ce qui ne me semble pas correct et illogique Je vous remercie d'avance de notre aide Bijour :)


stuntman78	Envoyé: 19.02.2007, 14:01
Voie lactée enregistré depuis: nov.. 2006 Messages: 93 Status: hors ligne dernière visite: 08.03.07	bonjour , oui c'est tout a fait incorrecte, car il faut que α+β+γ≠0 si je crois que tu as raison il faut se servir de α $\vec{GA} +$ β $\vec{GB} +$ γ $\vec{GC} =\vec{0}$ modifié par : stuntman78, 19 Fév 2007 - 14:03 encore merci thierry d'avoir mit ma bannière dans les bannières du forum :):):):)

bijour	Envoyé: 19.02.2007, 14:08
enregistré depuis: févr.. 2007 Messages: 9 Status: hors ligne dernière visite: 06.05.07	ok, mais comment faire alors pour obtenir alpha, béta et gamma ?

Bbygirl	Envoyé: 19.02.2007, 15:41
Cosmos enregistré depuis: oct.. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	Salut, je pense qu'on te demande de trouver la formule générale. Donc en te servant de ce qu'a dit Stuntman tu devrais trouver. Tu obtiens ceci: ${\alpha} \vec{GA}+{ \beta} \vec{GB}+ {\gamma} \vec{GC}= \vec{0}$ Ce qui équivaut au système à 3 équations suivant: ${\alpha}(x_{A}-x_{G})+{ \beta}(x_{B}-x_{G})+{ \gamma}(x_{C}-x_{G})=0$ ${\alpha}(y_{A}-y_{G})+{ \beta}(y_{B}-y_{G})+{ \gamma}(y_{C}-y_{G})=0$ ${\alpha}(z_{A}-z_{G})+{ \beta}(z_{B}-z_{G})+{ \gamma}(z_{C}-z_{G})=0$ Ce qui équivaut à : ${\alpha}x_{A}+{ \beta}x_{B}+{ \gamma}x_{C}=({\alpha}+{\beta}+{\gamma})x_{G}$ ${\alpha}y_{A}+{ \beta}y_{B}+{ \gamma}y_{C}=({\alpha}+{\beta}+{\gamma})y_{G}$ ${\alpha}z_{A}+{ \beta}z_{B}+{ \gamma}z_{C}=({\alpha}+{\beta}+{\gamma})z_{G}$ Ainsi, pour ${\alpha}+{\beta}+{\gamma}\neq0$ , tu as : $x_{G}=\frac{1}{{\alpha}+{\beta}+{\gamma}}({\alpha}x_{A}+{ \beta}x_{B}+{ \gamma}x_{C})$ $y_{G}=\frac{1}{{\alpha}+{\beta}+{\gamma}}({\alpha}y_{A}+{ \beta}y_{B}+{ \gamma}y_{C})$ $z_{G}=\frac{1}{{\alpha}+{\beta}+{\gamma}}({\alpha}z_{A}+{ \beta}z_{B}+{ \gamma}z_{C})$ Voilà, j'espère que c'était bien ta question. Et maintenant, si tu connais les coordonnées des points A,B,C et G, en remplaçant dans les équations ci-dessus, tu obtiendras un système de 3 équations à 3 inconnues qui te permettra de déterminer la valeur de $\alpha$ , $\beta$ et $\gamma$ . @+

bijour	Envoyé: 19.02.2007, 15:50
enregistré depuis: févr.. 2007 Messages: 9 Status: hors ligne dernière visite: 06.05.07	C'est bien ce que j'avais trouvé, mais essayez de résoudre le système : vous verrez que l'on aboutit à α=β=γ=0 Je crois que je ne sais plus résoudre de système (et ma 89 non plus) modifié par : bijour, 19 Fév 2007 - 15:53

Bbygirl	Envoyé: 19.02.2007, 15:56
Cosmos enregistré depuis: oct.. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	Pour pouvoir résoudre le système il faut que tu connaisses les coordonnées de A,B,C et G non ?

bijour	Envoyé: 19.02.2007, 15:58
enregistré depuis: févr.. 2007 Messages: 9 Status: hors ligne dernière visite: 06.05.07	ben on les a : xa,ya,za xb,yb,zb xc,yc,zc xg,yg,zg et on n'a pas de valeurs numériques : on veut une formule générale

Bbygirl	Envoyé: 19.02.2007, 16:00
Cosmos enregistré depuis: oct.. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	ah ok. c'est tout de suite moins facile. je vais essayer de résoudre le système. Peux-tu écrire les étapes de ta résolution pour que je voie où ça coince ?

bijour	Envoyé: 19.02.2007, 16:26
enregistré depuis: févr.. 2007 Messages: 9 Status: hors ligne dernière visite: 06.05.07	Comme c'est trop long à recopier en latex je scanne ici : [url=* interdit par le règlement* [/url] on voit alors bien que l'on peut factoriser par gamma et donc on a gamma * constante=0 d'où gamma=0 d'où bêta=0 d'où alpha=0 modifié par : miumiu, 19 Fév 2007 - 18:42

miumiu	Envoyé: 19.02.2007, 18:41
Cosmos enregistré depuis: mars. 2006 Messages: 3553 Status: hors ligne dernière visite: 11.12.11	coucou tu sais que le scan est interdit je ne peux pas te laisser mettre ce lien

bijour	Envoyé: 19.02.2007, 18:53
enregistré depuis: févr.. 2007 Messages: 9 Status: hors ligne dernière visite: 06.05.07	oups désolé je ne savais pas. Bon mais en fait on arrive après substitution gamma*cste =0 donc gamma = 0 :(

Zorro	Envoyé: 20.02.2007, 10:44
Modératrice enregistré depuis: oct.. 2005 Messages: 8687 Status: hors ligne dernière visite: 11.12.11	Il faut donc résoudre le système suivant : ${\alpha}(x_{A}-x_{G})+{ \beta}(x_{B}-x_{G})+{ \gamma}(x_{C}-x_{G})=0$ ${\alpha}(y_{A}-y_{G})+{ \beta}(y_{B}-y_{G})+{ \gamma}(y_{C}-y_{G})=0$ ${\alpha}(z_{A}-z_{G})+{ \beta}(z_{B}-z_{G})+{ \gamma}(z_{C}-z_{G})=0$ où les inconnues sont α , β et γ il faut donc le présenter comme on a l'habitude ${(x_{A}-x_{G})\alpha} + (x_{B}-x_{G}) {\beta}+ { (x_{C}-x_{G})\gamma}=0$ $(y_{A}-y_{G}){\alpha}+y_{B}-y_{G}){ \beta}+(y_{C}-y_{G}){ \gamma}=0$ $(z_{A}-z_{G}) {\alpha}+(z_{B}-z_{G}){ \beta}+(z_{C}-z_{G}){ \gamma}=0$ Pour simplifier l'écriture de tout cela on peut appeler ${(x_{A}-x_{G})\,=\, X_A \qquad \text{et} \qquad (x_{B}-x_{G})\,=\, X_B \qquad \text{et} \qquad { (x_{C}-x_{G})\,=\, X_C$ $(y_{A}-y_{G})\,=\, Y_A \qquad \text{et} \qquad (y_{B}-y_{G})\,=\, Y_B\qquad \text{et} \qquad (y_{C}-y_{G})\,=\, Y_C$ $(z_{A}-z_{G}) \,=\, Z_A \qquad \text{et} \qquad (z_{B}-z_{G})\,=\, Z_B \qquad \text{et} \qquad (z_{C}-z_{G})\,=\, Z_C$ donc le système devient $X_A \, \alpha \,+\, X_{B} \, \beta \,+\, X_{C} \, \gamma\,=\,0 \qquad$ [E1] $Y_A \, \alpha \,+\, Y_{B} \, \beta \,+\, Y_{C} \, \gamma\,=\,0 \qquad$ [E2] $Z_A \, \alpha \,+\, Z_{B} \, \beta \,+\, Z_{C} \, \gamma\,=\,0 \qquad$ [E3] En n'oubliant pas que ce qu'on cherche ce sont les α , β et γ Donc pour supprimer α il faut multiplier [E1] par -Y_A et [E2] par X_A et additionner les 2 lignes obtenues puis il faut multiplier [E2] par -Z_A et [E3] par Y_A etc .. Ce n'est pas en multipliant par α , β ou γ que cela marcherait (pour résoudre un système avec les inconnues x , y et z ce n'est pas par x , y ou z que tu multiplies mais par les coefficients qui sont devant) Bons calculs !

bijour	Envoyé: 20.02.2007, 10:48
enregistré depuis: févr.. 2007 Messages: 9 Status: hors ligne dernière visite: 06.05.07	et bien essayez de résoudre ce système : aussi étrange que cela puisse paraitre, les solutions sont bien 0 0 et 0 !!!!