Bonjour, voilà alors en fait j'ai cet exercice à finir (et un autre que je posterais plus tard qui n'est pas sur les fonctions) et j'ai quelques petites questions donc si quelqu'un pouvait m'aider ça serait très gentil
Voilà le sujet :
Soit f la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par :
f(x) = (ln x)²/x
et on me demande de calculer la limite de f(x) quand x tend vers 0, j'ai commencé par mettre la limite de x qui est 0 mais pour (ln x)² en fait j'ai un petit doûte avec le ², j'ai vu dans mon cours que la limite de ln x quand x tend vers 0 est égale à -∞ mais je préfère avoir confirmation pour savoir si c'est pareil au carré ?
ensuite on me demande de démontrer que f(x) = 4((ln√x)/√x)² et là je bloque
pour la 2ème question j'y vois plus clair après avoir vu la limite, mais comme il faut démontrer je me demande comment commencer ? est-ce que je remplace (ln x)² par lnx*lnx et je mets toute la fraction au carré ?
ah d'accord c'est vrai je n'y avais pas pensé ...
alors j'ai fait :
(4 x (1/2 ln x)² ) / x = (2lnx)²/x
mais si c'est ça maintenant comment je peux me débarrasser du 2 ?
ah oui mince... c'est bon alors puisqu'après en multipliant 1/4 par 4 ça fait 1 donc on retrouve bien (ln x)²/x !
donc quand ils me disent à la suite d'en déduire la limite de f quand x tend vers +∞ c'est pour que j'utilise la version avec les racines carrées vous croyez?
ok super merci ! comme l'exercice est assez long je vais m'arrêter pour aujourd'hui, je vais essayer de continuer et je reviendrais poser des questions demain
me revoilà
alors maintenant voilà la 2ème question :
montrer que f'(x) est du signe de (2 -lnx).lnx et étudier les variations de f
et je me demandais comment faire avec le carré, s'il faut que j'écrive lnx * lnx faire uv et après u/v ou alors est-ce que je fais directement u/v mais dans ce cas comment est-ce que je peux calculer la dérivée de (lnx)² ? je sais que pour lnx c'est 1/x, sinon je pensais aussi que c'est peut-être tout simplement 2lnx ... enfin bref j'hésite beaucoup
ah oui c'est vrai, merci ! j'ai trouvé 2. 1/x. lnx = 2lnx/x
ensuite j'ai fait u/v avec u=(lnx)² et u'=2lnx/x ce qui fait :
(x(2lnx/x) - (lnx)²)/x²
je suis sur la bonne voie ?
ok alors ensuite j'ai mis x en facteur :
(x(2lnx - (lnx)²))/x²
j'ai simplifié avec le dénominateur et j'ai mis lnx en facteur :
lnx(2-lnx)/x
est-ce que c'est le bon résultat ?
comme on me demande de montrer que f'(x) est du signe de lnx(2-lnx) je pensais écrire que comme f est définie sur ]0 ; +∞[ le dénominateur x est toujours positif donc le signe dépend du numérateur, c'est juste ?et pour étudier les variations de f il faut que je fasse une inéquation ?
ah oui c'est vrai j'ai compris maintenant, merci
et donc après je mets lnx en facteur au numérateur et x² au dénominateur, et là c'est bon le résultat ?
lol
je mettrais
le dénominateur est strictement positif (c'est un carré donc on s'en fiche de l'ensemble de définition il faut juste préciser que x≠0) donc le signe de f'(x) dépend du numérateur
à ta place je résoudrais
lnx.(2-lnx)= 0
et je ferais un tableau de signe avec
ln x
2-ln x
lnx.(2-lnx)
mais si tu veux tenter l'inéquation pourquoi pas
dans ce cas il faut que tu redéveloppes je pense
essaie et dis moi ce que tu trouves
ok bon ben je vais faire un tableau de signe alors
lnx est positif sur ]0 ; +∞[
2-lnx est positif de 0 à 7 d'après ma calculatrice et négatif ensuite
donc lnx.(2-lnx) est du même signe que 2-lnx ?
oui en fait au début je voulais faire comme ça mais comme je n'étais pas sûre du résultat j'ai voulu simplifier avec la calculatrice
alors pour lnx = 0 je crois que c'est x =1 ?
par contre pour lnx = 2 je ne sais pas du tout comment faire
merci beaucoup
alors pour lnx de 0 à 1 c'est négatif et de 1 à +∞ c'est positif
pour 2-lnx de 0 à e² c'est positif et de e² à +∞ c'est négatif ?
donc lnx.(2-lnx) est négatif de 0 à 1, positif de 1 à e² et négatif de e² à +∞ ?
ok super
alors maintenant j'en suis à la 2ème partie de l'exo (il y en a 4 en tout) voilà ce qu'on rajoute à l'énoncé :
soient a, a appartient à R+*, A le point de (C) (la courbe de f) d'abscisse a, et (Ta) la tangente à (C) en A
1. Ecrire une équation de (Ta)
et je me demandais si c'est bien cette formule qu'il faut que j'utilise :
y = f'(a)(x-a)+f(a) (j'espère ne pas avoir fait de faute)
et si c'est bien celle là qu'est-ce que je dois faire ? je remplace x par a pour f'(a) et f(a) et pour (x-a) je n'y touche pas ?
ok alors j'ai écrit :
y = ((2lna-(lna)²)/a²).(x-a) + (lna)²/a
mais pour le reste je suis vraiment pas sûre que ça soit ça :
((2lna-(lna)²).(x-a)/a²)+(lna)²/a
= ((2lna-(lna)²).(x-a)/a²)+((lna)²*a)/a²
= (2lna-(lna)².(x-a)+(lna)²*a)/a²
?
au fait j'y pense maintenant, s'il y a écrit "une équation de (Ta) , est-ce que ça veut dire que je peux prendre n'importe quel chiffre pour remplacer a dans ce que j'ai écrit plus haut?
Ta est une courbe, donc elle est caractérisée par son équation. Par exemple (C) est la courbe d'équation f(x)=ln²(x)/x. C'est comme quand on parle d'équation de droite, de cercle ou de plan.
Ta est la tangente au point d'abscisse a. Donc si tu cherches la tangente à (C) au point de coordonnées (2;f(2)), tu vas prendre a=2, donc calculer l'équation de T2: y=f'(2)(x-2)+f(2).
L'équation que tu as trouvée est juste (j'ai juste lu la 1ère ligne). Je récapitule tout en clair :
coucou
je redébarque mais en voyant vite fait ton calcul j'ai l'impression que tu as oublié des parenthèses entre la première et la deuxième le numérateur est entre parenthèses en fait...
