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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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Fin 

Fonction logarithme de x

- classé dans : Fonction logarithme

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Envoyé: 12.02.2007, 17:58

Voie lactée


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Bonjour, voilà alors en fait j'ai cet exercice à finir (et un autre que je posterais plus tard qui n'est pas sur les fonctions) et j'ai quelques petites questions donc si quelqu'un pouvait m'aider ça serait très gentil icon_smile

Voilà le sujet :

Soit f la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par :
f(x) = (ln x)²/x

et on me demande de calculer la limite de f(x) quand x tend vers 0, j'ai commencé par mettre la limite de x qui est 0 mais pour (ln x)² en fait j'ai un petit doûte avec le ², j'ai vu dans mon cours que la limite de ln x quand x tend vers 0 est égale à -∞ mais je préfère avoir confirmation pour savoir si c'est pareil au carré ?

ensuite on me demande de démontrer que f(x) = 4((ln√x)/√x)² et là je bloque icon_confused

Merci d'avance



modifié par : mtschoon, 15 Fév 2013 - 12:35
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Envoyé: 12.02.2007, 18:27

Cosmos
miumiu

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coucou

pour

donc
comme tu l'as dit la limite de en c'est donc



et



tu vas calculer



donc ...

donc conclusion ...

modifié par : miumiu, 12 Fév 2007 - 18:27
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Envoyé: 12.02.2007, 18:46

Voie lactée


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c'est égal à +∞ alors ?
et après est-ce que ça donne +∞ / 0 = +∞ ?

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Envoyé: 12.02.2007, 18:51

Cosmos
miumiu

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oui et non
bravo pour la limite que je t'ai fait calculer ^^
ensuite tu as un produit (encore)

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Envoyé: 12.02.2007, 19:21

Voie lactée


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ok merci donc ça fait +∞ x +∞ = +∞ ?

pour la 2ème question j'y vois plus clair après avoir vu la limite, mais comme il faut démontrer je me demande comment commencer ? est-ce que je remplace (ln x)² par lnx*lnx et je mets toute la fraction au carré ?
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Envoyé: 12.02.2007, 19:39

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re
oui c'est bon
alors est ce que la fonction qu'on demande de trouver c'est bien pour x > 0



modifié par : miumiu, 12 Fév 2007 - 19:41
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Envoyé: 12.02.2007, 19:50

Voie lactée


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il n'y a pas de précision donc je suppose qu'on reste sur x > 0 , comme en plus après on me demande d'en déduire la limite de f quand x tend vers +∞
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Envoyé: 12.02.2007, 19:52

Cosmos
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bon je pense que c'est bien ça en effet

tu poses pour tout srtictement positif





tu dois savoir que
pour a strictement positif

donc ...
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Envoyé: 12.02.2007, 20:10

Voie lactée


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ah d'accord c'est vrai je n'y avais pas pensé ...
alors j'ai fait :
(4 x (1/2 ln x)² ) / x = (2lnx)²/x
mais si c'est ça maintenant comment je peux me débarrasser du 2 ?
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Envoyé: 12.02.2007, 20:13

Cosmos
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en fait tu as oublié de mettre le 1/2 au carré ^^

(1/2 ln x)² = 1/4 (ln x)²
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Envoyé: 12.02.2007, 20:20

Voie lactée


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ah oui mince... c'est bon alors puisqu'après en multipliant 1/4 par 4 ça fait 1 donc on retrouve bien (ln x)²/x !
donc quand ils me disent à la suite d'en déduire la limite de f quand x tend vers +∞ c'est pour que j'utilise la version avec les racines carrées vous croyez?
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Envoyé: 12.02.2007, 20:28

Cosmos
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oui je le crois ^^

tu sais que quand


rien ne t'empeche de poser pour positif


donc ...

alors



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Envoyé: 12.02.2007, 20:38

Voie lactée


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donc ça fait lnX = +∞ / +∞ ? mais ça fait une forme indéterminée ?
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Envoyé: 12.02.2007, 20:47

Cosmos
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bon ok je vais aller moins vite

pour tout strictement positif

on sait que



on pose pour positif





alors



alors ?! toujours pas ?!
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Envoyé: 12.02.2007, 20:53

Voie lactée


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j'ai peut-être trouvé...
lnX/X ça fait 0 alors puisque lnx/x = 0 ? et donc la limite est égale à 0 ?
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Envoyé: 12.02.2007, 20:55

Cosmos
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oui très bien ^^
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Envoyé: 12.02.2007, 21:02

Voie lactée


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ok super merci ! comme l'exercice est assez long je vais m'arrêter pour aujourd'hui, je vais essayer de continuer et je reviendrais poser des questions demain icon_smile
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Envoyé: 12.02.2007, 21:03

Cosmos
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ok +++
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Envoyé: 13.02.2007, 13:11

Voie lactée


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me revoilà
alors maintenant voilà la 2ème question :
montrer que f'(x) est du signe de (2 -lnx).lnx et étudier les variations de f

et je me demandais comment faire avec le carré, s'il faut que j'écrive lnx * lnx faire uv et après u/v ou alors est-ce que je fais directement u/v mais dans ce cas comment est-ce que je peux calculer la dérivée de (lnx)² ? je sais que pour lnx c'est 1/x, sinon je pensais aussi que c'est peut-être tout simplement 2lnx ... enfin bref j'hésite beaucoup
Top 
Envoyé: 13.02.2007, 13:20

Cosmos
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As-tu vu la formule qui donne la dérivée de f = un en fonction de n , u' et u ?

Tu pourrais peux-être l'appliquer avec u(x) = ln(x) et n = 2 !!
Top 
Envoyé: 13.02.2007, 13:50

Voie lactée


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ah oui c'est vrai, merci ! j'ai trouvé 2. 1/x. lnx = 2lnx/x
ensuite j'ai fait u/v avec u=(lnx)² et u'=2lnx/x ce qui fait :
(x(2lnx/x) - (lnx)²)/x²
je suis sur la bonne voie ?
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Envoyé: 13.02.2007, 14:11

Cosmos
Zorro

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oui
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Envoyé: 13.02.2007, 14:29

Voie lactée


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ok alors ensuite j'ai mis x en facteur :
(x(2lnx - (lnx)²))/x²
j'ai simplifié avec le dénominateur et j'ai mis lnx en facteur :
lnx(2-lnx)/x

est-ce que c'est le bon résultat ?
comme on me demande de montrer que f'(x) est du signe de lnx(2-lnx) je pensais écrire que comme f est définie sur ]0 ; +∞[ le dénominateur x est toujours positif donc le signe dépend du numérateur, c'est juste ?et pour étudier les variations de f il faut que je fasse une inéquation ?
Top 
Envoyé: 13.02.2007, 15:15

Cosmos
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salut moi je trouve du x² au dénominateur

je pense que tu t'es trompée quand tu as voulu simplifier

ton avant dernier post allait




Top 
Envoyé: 13.02.2007, 18:05

Voie lactée


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ah oui c'est vrai j'ai compris maintenant, merci
et donc après je mets lnx en facteur au numérateur et x² au dénominateur, et là c'est bon le résultat ?
Top 
Envoyé: 13.02.2007, 18:32

Cosmos
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oui tu laisses le x² au dénominateur et tu gardes ton numérateur (qui était bon )

modifié par : miumiu, 13 Fév 2007 - 18:33
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Envoyé: 13.02.2007, 18:43

Voie lactée


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ok super merci, et est-ce que vous pouvez m'aider en ce qui concerne ça ?

Maeva6
comme on me demande de montrer que f'(x) est du signe de lnx(2-lnx) je pensais écrire que comme f est définie sur ]0 ; +∞[ le dénominateur est toujours positif donc le signe dépend du numérateur, c'est juste ?et pour étudier les variations de f il faut que je fasse une inéquation ?


modifié par : Maeva6, 13 Fév 2007 - 18:43
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Envoyé: 13.02.2007, 18:55

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lol
je mettrais
le dénominateur est strictement positif (c'est un carré donc on s'en fiche de l'ensemble de définition il faut juste préciser que x≠0) donc le signe de f'(x) dépend du numérateur
à ta place je résoudrais
lnx.(2-lnx)= 0
et je ferais un tableau de signe avec

ln x

2-ln x

lnx.(2-lnx)

mais si tu veux tenter l'inéquation pourquoi pas
dans ce cas il faut que tu redéveloppes je pense
essaie et dis moi ce que tu trouves
Top 
Envoyé: 13.02.2007, 19:47

Voie lactée


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ok bon ben je vais faire un tableau de signe alors
lnx est positif sur ]0 ; +∞[
2-lnx est positif de 0 à 7 d'après ma calculatrice et négatif ensuite
donc lnx.(2-lnx) est du même signe que 2-lnx ?
Top 
Envoyé: 13.02.2007, 19:53

Cosmos
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tu sais faire un tableau de signe ?! quelles sont les valeurs pour lesquelles on a 0 ?! les valeurs exactes ...

pour x strictement positif






donc

ou





donc
Top 
Envoyé: 13.02.2007, 20:07

Voie lactée


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oui en fait au début je voulais faire comme ça mais comme je n'étais pas sûre du résultat j'ai voulu simplifier avec la calculatrice
alors pour lnx = 0 je crois que c'est x =1 ?
par contre pour lnx = 2 je ne sais pas du tout comment faire icon_confused
Top 
Envoyé: 13.02.2007, 20:10

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oui pour le 1
donc alors le tableau il donne quoi maintenant ?! ^^
Top 
Envoyé: 13.02.2007, 20:28

Voie lactée


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merci beaucoup
alors pour lnx de 0 à 1 c'est négatif et de 1 à +∞ c'est positif
pour 2-lnx de 0 à e² c'est positif et de e² à +∞ c'est négatif ?
donc lnx.(2-lnx) est négatif de 0 à 1, positif de 1 à e² et négatif de e² à +∞ ?
Top 
Envoyé: 13.02.2007, 20:50

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oui très bien ^^
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Envoyé: 14.02.2007, 11:09

Voie lactée


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ok super icon_smile
alors maintenant j'en suis à la 2ème partie de l'exo (il y en a 4 en tout) voilà ce qu'on rajoute à l'énoncé :
soient a, a appartient à R+*, A le point de (C) (la courbe de f) d'abscisse a, et (Ta) la tangente à (C) en A
1. Ecrire une équation de (Ta)
et je me demandais si c'est bien cette formule qu'il faut que j'utilise :
y = f'(a)(x-a)+f(a) (j'espère ne pas avoir fait de faute)
et si c'est bien celle là qu'est-ce que je dois faire ? je remplace x par a pour f'(a) et f(a) et pour (x-a) je n'y touche pas ?
Top 
Envoyé: 14.02.2007, 16:42

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Salut.

Oui, c'est bien la formule y=f'(a)(x-a)+f(a) qu'il faut utiliser.

Comme tu cherches la tangente, elle doit dépendre de x : c'est une équation de droite. Donc tu ne touches pas à x dans (x-a).

@+
Top 
Envoyé: 14.02.2007, 17:57

Voie lactée


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ok alors j'ai écrit :
y = ((2lna-(lna)²)/a²).(x-a) + (lna)²/a
mais pour le reste je suis vraiment pas sûre que ça soit ça :
((2lna-(lna)²).(x-a)/a²)+(lna)²/a
= ((2lna-(lna)²).(x-a)/a²)+((lna)²*a)/a²
= (2lna-(lna)².(x-a)+(lna)²*a)/a²
?

au fait j'y pense maintenant, s'il y a écrit "une équation de (Ta) , est-ce que ça veut dire que je peux prendre n'importe quel chiffre pour remplacer a dans ce que j'ai écrit plus haut?

modifié par : Maeva6, 14 Fév 2007 - 17:59
Top 
Envoyé: 14.02.2007, 19:34

Modérateur


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Salut.

Ta est une courbe, donc elle est caractérisée par son équation. Par exemple (C) est la courbe d'équation f(x)=ln²(x)/x. C'est comme quand on parle d'équation de droite, de cercle ou de plan.

Ta est la tangente au point d'abscisse a. Donc si tu cherches la tangente à (C) au point de coordonnées (2;f(2)), tu vas prendre a=2, donc calculer l'équation de T2: y=f'(2)(x-2)+f(2).

L'équation que tu as trouvée est juste (j'ai juste lu la 1ère ligne). Je récapitule tout en clair :






@+
Top 
Envoyé: 14.02.2007, 20:29

Voie lactée


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d'accord, merci pour les explications
pour a = 2 j'ai trouvé ça :






est-ce que c'est bon ou est-ce que je me suis trompée dans les calculs ?
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Envoyé: 14.02.2007, 21:58

Cosmos
miumiu

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coucou
je redébarque mais en voyant vite fait ton calcul j'ai l'impression que tu as oublié des parenthèses entre la première et la deuxième le numérateur est entre parenthèses en fait...
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