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Résolution d'un système - PGCD

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 08.02.2007, 21:51

Une étoile
nixou66

enregistré depuis: avril. 2005
Messages: 11

Status: hors ligne
dernière visite: 06.05.07
Bonjour.
J'ai un DM à rendre demain mais je bloque sur la dernière question.
Pourriez-vous m'aider svp?
Merci par avance.

Voici l'énoncé:
On cherche es couples (a,b) d'entiers naturels non nuls vérifiant le système
a-b=D
(S){a*b=20D où D est le PGCD des entiers a et b.

1. Déterminez l'ensemble de tous les divisers entiers naturels de 20.
J'ai trouvé 1;2;4;5;10;20

2. Soit (a,b) un couple solution du système (S), on pose a=D*a1 et b=D*b1
Justifiez les affirmations suivantes:
¤ a1 et b1 divisent 20:
D'après le système (S):
{a1-D*b1=D {a1-b1=1
D*a1*D*b1=20D donc a1*b1=20
Si a1*b1=20, alors a1 et b1 divisent 20

¤ a1=b1+1:
Puisque a1-b1=1, alor a1=b1+1

3. Déterminez les couples (a1,b1) de divisers de 20 qui vérifient a1=b1+1.
¤ a1 et b1 sont premiers entre eux d'après le théorème de Bezout, car
a1-b1=1 (a1*u+b1*v=1avec u=1 et v=-1)
¤ Les diviseurs de 20 premiers entreeux sont (1;2) et (4;5)
¤ Les couples (a1,b1) de diviseurs de 20 tels ue a1=b1+1 sont donc: (2;1) et (5;4)


4. Résolvez le système (S)
JE NE SAIS PAS COMMENT FAIRE
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