Salut à tous, j'ai un devoir à rendre la semaine prochaine et comme il est assez compliqué je m'y prend à l'avance pour vous demander de l'aide.
Voici l'énoncé :
On note P le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct (O;,). On construit la suite des points (An) de la façon suivante : . A0=O ;
. A1 est le point d'affixe i ;
. pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, An est l'image de An-2 par la similitude directe de centre An-1, de rapport et d'angle .
Pour tout entier naturel n, on note zn l'affixe de An.
On considère la suite (Zn) définie par : pour tout entier naturel , Zn=zn-zn-1.
Démontrer que pour tout entier naturel , zn=()zn-2+()zn-1.
Démontrer que la suite (Zn) est une suite géométrique dont on donnera la raison.
En déduire que pour tout entier naturel , zn-zn-1=.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel , zn=.
Démontrer qu'il existe une unique similitude directe S telle que S(A0)=A1 et S(A1)=A2.
On déterminera l'expression complexe de S et on donnera ses éléments caractéristiques.
On appellera le centre de la similitude S.
Démontrer que pour tout entier naturel n, An+1=S(An).
On note SSSS=S4
M est un point de P.
M1=S(M) , M2=S(M1) , M3=S(M2) et M'=S(M3).
Déterminer une relation entre et .
On suppose que M est distinct de . Déterminer l'angle(.
Démonter que S4 est une homothétie dont on donnera le centre et le rapport.
Déterminer . Interpréter géométriquement ce résultat.
Déterminer
Voilà je suis en train de réfléchir à la première question. Je poste l'énoncé et dès que je trouve quelque chose je le posterai.
La similitude est une homothétie suivie d'une rotation ou l'inverse peu importe
On va avoir une homotéthie sur An-2 de centre An-1 et de rapport √2/2 qui va nous donner un point intermediaire qu'on appelera M ( d'affixe m) auquel on fera subir une rotation et tu vas voir on va retrouver ta formule ::
L'homothétie nous traduit cette égalite:
(√2/2)(zn-2 - zn-1) = (m - zn-1)
Après développement on obitent
m = (√2/2)(zn-2 - zn-1 ) + zn-1
La rotation nous traduit cette égalité :
zn = zn-1 + (m - zn-1)*ei*π/4
Voilà je te laisse développer en remplaçant m par sa valeur trouvé par l'homothétie , tu devrais retomber sur la formule donnée dans la question
Salut, c'est encore moi. Je voulais savoir si quelqu'un pouvait m'aider pour la récurrence (question 3) parce qu'on vient à peine de commencer et j'avouerai que je ne maîtrise pas vraiment. Dans le cours, notre professeur nous a dit qu'il fallait prouver que la propriété était vraie pour une valeur et ensuite montrer qu'elle était vraie pour n+1.
J'ai montré que pour n=1 la propriété est vraie mais c'est la deuxième partie du raisonnement qui me pose problème.
Non je n'ai ni abandonné ni terminé j'avais juste des devoirs plus urgents à faire.
Pour la question 4), pour prouver que la similitude directe S est unique, il faut dire que et que la transformation est de la forme az+b (où a et b sont des compexes et a0) ?
Est ce qu'il faut que je dise que par exemple A1 est l'image de A0 par une homothétie (dont je donne le centre et le rapport) et que A2 est l'image de A1 par une rotation (dont je donne l'angle et le centre ) ?
Non tpour la rédaction il faut écrire : montrons que l'on peut trouver une similitude S telle que A1 soit l'image de A0 par S et que A2 soit l'image de A1 par S.
Si une telle similitude existe il doit exister 2 complexes a et b tels que z' = az + b (avec z' affixe de M' image par S de M d'affixe z)
Je pense que tu es capable de faire la réponse toi même et que tu n'as pas attendu que je te réponde pour continuer à chercher, comme je te l'indiquais plus tôt, les éléments caractéristiques de cette similitude c'est à dire le centre, le rapport et l'angle !
En effet, j'ai trouvé que le centre est le point d'affixe .
Le rapport est le module de a donc le rapport est tel que k=(2)/2 et l'angle est l'argument de a donc
Quel calcul avez-vous fait pour trouver =1+i ? Parce que j'ai refait mon calcul et je retombe sur ce que j'ai trouvé en premier . Et pour trouver l'angle égal à /4 ?
2)/2 et l'angle est l'argument de a donc 
/4 ? 
