Résoudre un problème dans le plan complexe à l'aide des suites


  • B

    Salut à tous, j'ai un devoir à rendre la semaine prochaine et comme il est assez compliqué je m'y prend à l'avance pour vous demander de l'aide.
    Voici l'énoncé :

    On note P le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct (O;u⃗\vec{u}u,v⃗\vec{v}v). On construit la suite des points (An(A_n(An) de la façon suivante :

    . A0A_0A0=O ;

    . A1A_1A1 est le point d'affixe i ;

    . pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, AnA_nAn est l'image de An−2A_{n-2}An2 par la similitude directe de centre An−1A_{n-1}An1, de rapport sqrt22\frac{sqrt2}{2}2sqrt2 et d'angle π4\frac{\pi}{4}4π.

    Pour tout entier naturel n, on note znz_nzn l'affixe de AnA_nAn.

    On considère la suite (Zn(Z_n(Zn) définie par : pour tout entier naturel n≥1n\geq1n1 , <strong>Z<strong>Z<strong>Z_n=z=z=zn−z</em>n−1-z</em>{n-1}z</em>n1.

    1)1)1) Démontrer que pour tout entier naturel n≥2n\geq2n2, <strong>z<strong>z<strong>z_n</strong>=(</strong>=(</strong>=(\frac{1+i}{2})<strong>z)<strong>z)<strong>z_{n-2}</strong>+(</strong>+(</strong>+(\frac{1-i}{2})<strong>zn−1)<strong>z_{n-1})<strong>zn1.

    2)2)2)a)a)a) Démontrer que la suite (Zn(Z_n(Zn) est une suite géométrique dont on donnera la raison.

    b)b)b) En déduire que pour tout entier naturel n≥1n\geq1n1, <strong>z<strong>z<strong>zn−z</em>n−1-z</em>{n-1}z</em>n1=i(−1−i2)n−1i(\frac{-1-i}{2})^{n-1}i(21i)n1.

    3)3)3) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n≥1n\geq1n1,
    <strong>zn<strong>z_n<strong>zn=1+3i5[1−(−1−i2)n]\frac{1+3i}{5}[1-(\frac{-1-i}{2})^n]51+3i[1(21i)n].

    4)4)4) a)a)a) Démontrer qu'il existe une unique similitude directe S telle que S(AS(AS(A_0)=A1)=A_1)=A1 et S(AS(AS(A_1)=A2)=A_2)=A2.
    On déterminera l'expression complexe de S et on donnera ses éléments caractéristiques.
    On appellera ω\omegaω le centre de la similitude S.

    b)b)b) Démontrer que pour tout entier naturel n, AAA_{n+1}=S(An=S(A_n=S(An).

    5)5)5) On note SSS\circSSS\circSSS\circS=S4S=S^4S=S4
    M est un point de P.

    M1M_1M1=S(M) , MMM_2=S(M1=S(M_1=S(M1) , MMM_3=S(M2=S(M_2=S(M2) et M'=S(M3=S(M_3=S(M3).

    a)a)a) Déterminer une relation entre ω\omegaωm′m'm et ω\omegaωmmm.

    b)b)b) On suppose que M est distinct de ω\omegaω. Déterminer l'angle(ωm⃗;ωm′⃗)\vec{{\omega}{m}};\vec{{\omega}{m'}})ωm;ωm).

    c)c)c) Démonter que S4S^4S4 est une homothétie dont on donnera le centre et le rapport.

    6)6)6) a)a)a) Déterminer lim⁡n→∞ωan\lim_{n \to \infty}{\omega}{a_{n}}limnωan. Interpréter géométriquement ce résultat.

    b)b)b) Déterminer lim⁡n→∞(a0a1+...+anan+1)\lim_{n \to \infty}(a_{0}a_{1}+...+a_{n}a_{n+1})limn(a0a1+...+anan+1)

    Voilà je suis en train de réfléchir à la première question. Je poste l'énoncé et dès que je trouve quelque chose je le posterai.

    Merci


  • Z

    Salut

    Pour la Premiere question :

    La similitude est une homothétie suivie d'une rotation ou l'inverse peu importe
    On va avoir une homotéthie sur An−2A_{n-2}An2 de centre An−1A_{n-1}An1 et de rapport √2/2 qui va nous donner un point intermediaire qu'on appelera M ( d'affixe m) auquel on fera subir une rotation et tu vas voir on va retrouver ta formule ::

    L'homothétie nous traduit cette égalite:

    (√2/2)(zn−22/2)(z_{n-2}2/2)(zn2 - zn−1z_{n-1}zn1) = (m - zn−1z_{n-1}zn1)

    Après développement on obitent

    m = (√2/2)(zn−22/2)(z_{n-2}2/2)(zn2 - zn−1z_{n-1}zn1 ) + zn−1z_{n-1}zn1

    La rotation nous traduit cette égalité :

    znz_nzn = zn−1z_{n-1}zn1 + (m - zzz_{n-1})<em>ei</em>π/4)<em>e^{i</em>π/4})<em>ei</em>π/4

    Voilà je te laisse développer en remplaçant m par sa valeur trouvé par l'homothétie , tu devrais retomber sur la formule donnée dans la question


  • B

    merci beaucoup. je suis bien retombée sur la formule demandée.

    Pour démontrer que (Zn(Z_n(Zn) est géométrique, est-ce que je dois faire le calcul zn+1zn\frac{z_{n+1}}{z_{n}}znzn+1 ?


  • Z

    Oui ça peut marcher,en se servant de la formule trouvé en 1) on doit pouvoir trouver un réel mais bon j'ai pas essayé je peux pas te dire


  • Z

    pardon pas un réel mais un complexe


  • B

    ok. merci je vais essayer. on verra bien ce que ça donne.


  • Zorro

    JE pense que le plus simple est de se servir de ce qu'on vient de montrer et de calculer

    ZnZ_nZn en fonction de Zn−1Z_{n-1}Zn1

    donc en fonction de zn−1z_{n-1}zn1 - zn−2z_{n-2}zn2


  • B

    Je ne comprend pas ce que vous voulez dire.


  • Zorro

    Il faut partir de ZnZ_nZn = znz_nzn - zn−1z_{n-1}zn1

    et remplacer znz_nzn par ce qu'on a trouvé en 1) et avec 2 lignes de calculs on trouve

    ZnZ_nZn = q (zn−1(z_{n-1}(zn1 - zn−2z_{n-2}zn2) = q Zn−1Z_{n-1}Zn1

    avec la raison q,=,−1−i2q ,=, \frac{-1-i}{2}q,=,21i


  • B

    d'accord merci je vais faire les calculs. 😄


  • B

    Je viens de faire les calculs et je trouve bien q=−1−i2\frac{-1-i}{2}21i.
    Donc (Zn(Z_n(Zn) est bien une suite géométrique dont la raison est q.

    Merci.


  • B

    Pour la question suivante , la 2b), je crois qu'il suffit de dire que ZZZ_n=(z=(z=(z_1−z-zz_0)qn−1)q^{n-1})qn1
    Et donc ZnZ_nZn=i(−1−i2)n−1i(\frac{-1-i}{2})^{n-1}i(21i)n1


  • Zorro

    bin oui il faut utiliser la forme d'un terme général d'un suite géométrique de premier terme Z1Z_1Z1 et de raison q

    ZnZ_nZn = ZZZ_1qn−1q^{n-1}qn1


  • B

    merci


  • B

    Salut, c'est encore moi. Je voulais savoir si quelqu'un pouvait m'aider pour la récurrence (question 3) parce qu'on vient à peine de commencer et j'avouerai que je ne maîtrise pas vraiment. Dans le cours, notre professeur nous a dit qu'il fallait prouver que la propriété était vraie pour une valeur et ensuite montrer qu'elle était vraie pour n+1.

    J'ai montré que pour n=1 la propriété est vraie mais c'est la deuxième partie du raisonnement qui me pose problème.

    Merci à tous pour votre aide.


  • Zorro

    Oui en effet mintenant il faut considérer que la propirété est vraie c'est à dire que :

    zn,=,(1+3i5),[1,−,(−1−i2)n]z_n,=,\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^n]zn,=,(51+3i),[1,,(21i)n]

    et en déduire que c'est vrai au rang n+1 ; c'est à dire que

    zn+1,=,(1+3i5),[1,−,(−1−i2)n+1]z_{n+1},=,\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^{n+1}]zn+1,=,(51+3i),[1,,(21i)n+1]

    Donc on part de zn+1z_{n+1}zn+1 et on remplace znz_{n}zn par ce qu'on a considéré comme vrai et on calcule jusqu'à ce qu'on arrive à ce qu'on veut pour zn+1z_{n+1}zn+1


  • B

    Ok. je vais essayer.


  • Zorro

    Il faut partir de

    zn,=,zn−1,+,i(−1−i2)n−1z_n,=,z_{n-1},+,i(\frac{-1-i}{2})^{n-1}zn,=,zn1,+,i(21i)n1

    donc zn+1,=,zn,+,i(−1−i2)nz_{n+1},=,z_{n},+,i(\frac{-1-i}{2})^{n}zn+1,=,zn,+,i(21i)n

    et remplacer znz_nzn par zn,=,(1+3i5),[1,−,(−1−i2)n]z_n,=,\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^n]zn,=,(51+3i),[1,,(21i)n]

    Et on doit arriver à ce qu'il faut pour zn+1z_{n+1}zn+1


  • Zorro

    Le but de l'opération est de montrer que

    zn+1,=,(1+3i5),[1,−,(−1−i2)n+1]z_{n+1},=,\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^{n+1}]zn+1,=,(51+3i),[1,,(21i)n+1]

    Tu n'as pas le droit de partir de cette expression ! tu dois partir des formules que tu as déjà !


  • B

    En remplaçant j'obtiens :

    zn+1=(1+3i5)[1−(−1−i2)n]+i(−1−i2)nz_{n+1}=(\frac{1+3i}{5})[1-(\frac{-1-i}{2})^n]+i(\frac{-1-i}{2})^nzn+1=(51+3i)[1(21i)n]+i(21i)n

    Et ensuite que dois-je faire ? j'ai essayé en développant mais je ne tombe sur rien d'intéressant.


  • Zorro

    Si tu n'y arrive pas en développant, tu dois bien quand même à arriver à une expression plus simple que cette dernière.

    Essaye aussi de développer l'expression de zn+1z_{n+1}zn+1 à démontrer en remarquant que
    xn+1x^{n+1}xn+1 = x * xnx^nxn

    Et esssaye de montrer que les 2 expressions sont égales


  • B

    Zorro
    Le but de l'opération est de montrer que

    zn+1,=,(1+3i5),[1,−,(−1−i2)n+1]z_{n+1},=,\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^{n+1}]zn+1,=,(51+3i),[1,,(21i)n+1]

    Si je pars de cette expression et que je la simplifie un peu , j'obtiens :
    zn+1,=,(1+3i5),[1,−,(−1−i2)n(−1−i2)]z_{n+1},=,\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^n(\frac{-1-i}{2})]zn+1,=,(51+3i),[1,,(21i)n(21i)]

    Partant de là je ne vois pas trop où ca me mène.


  • Zorro

    Tu calcules d'un côté

    (1+3i5),[1,−,(−1−i2)n(−1−i2)]\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^n(\frac{-1-i}{2})](51+3i),[1,,(21i)n(21i)]

    et de l'autre

    (1+3i5)[1−(−1−i2)n]+i(−1−i2)n(\frac{1+3i}{5})[1-(\frac{-1-i}{2})^n]+i(\frac{-1-i}{2})^n(51+3i)[1(21i)n]+i(21i)n

    et tu dois arriver à montrer que ces 2 expresions sont égales


  • B

    MErci beaucoup j'ai trouvé que chacun des expressions était égale à :

    1+3i5−(−1−i2)n(2i−15)\frac{1+3i}{5}-(\frac{-1-i}{2})^n(\frac{2i-1}{5})51+3i(21i)n(52i1)

    Ainsi, la propriété est démontrée car ZZZ_{n+1}=Zn=Z_n=Zn pourn≥1n\geq1n1


  • Zorro

    non zn+1z_{n+1}zn+1 n'est pas égal à znz_nzn

    D'un côté tu as calculé zn+1z_{n+1}zn+1 tu as touvé "X" (je ne sais plus ce que c'est)

    DE l'autre tu as calculé (1+3i5),[1,−,(−1−i2)n+1]\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^{n+1}](51+3i),[1,,(21i)n+1] et tu as aussi trouvé aussi "X"

    donc zn+1,=,(1+3i5),[1,−,(−1−i2)n+1]z_{n+1},=,\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^{n+1}]zn+1,=,(51+3i),[1,,(21i)n+1]

    ce qu'on cherchait à démontrer !


  • B

    oui désolée je m'emmêle les pinceaux toute seule.


  • Zorro

    Aurais-tu abandonné la suite de cer exo ? ou as-tu réusssi à trouver les solutions de la fin ?

    Ce sujet est fort inteéressant et j'espère que tu as toi aussi apprécié !


  • B

    Non je n'ai ni abandonné ni terminé j'avais juste des devoirs plus urgents à faire.

    Pour la question 4), pour prouver que la similitude directe S est unique, il faut dire que a0≠a1eta1≠a2a_{0}\neq{a_{1}} et a_{1}\neq{a_{2}}a0=a1eta1=a2 et que la transformation est de la forme az+b (où a et b sont des compexes et a≠\neq=0) ?


  • Zorro

    Oui avec A1A_1A1 image de A0A_0A0 et A2A_2A2 image de A1A_1A1 tu as 2 équations à 2 inconnues a et b (faciles à trouver)

    Pour trouver les caractéristiques de S il faut trouver
    le centre = le point invariant
    et pour le rapport et l'angle utiliser le cours


  • B

    Est ce qu'il faut que je dise que par exemple A1A_1A1 est l'image de A0A_0A0 par une homothétie (dont je donne le centre et le rapport) et que A2A_2A2 est l'image de A1A_1A1 par une rotation (dont je donne l'angle et le centre ) ?


  • Zorro

    Non tpour la rédaction il faut écrire : montrons que l'on peut trouver une similitude S telle que A1A_1A1 soit l'image de A0A_0A0 par S et que A2A_2A2 soit l'image de A1A_1A1 par S.

    Si une telle similitude existe il doit exister 2 complexes a et b tels que z' = az + b (avec z' affixe de M' image par S de M d'affixe z)

    Soit
    z1z_1z1 = az0az_0az0 + b et
    z2z_2z2 = az1az_1az1 + b


  • B

    Pour trouver a et b je dois remplacer par les valeurs que je connais c'est ca ?

    Est ce que ca donne i=a*0+b donc b=i
    et z2z_2z2=ai+i=i(1+a)

    Et donc d'après l'expression trouvée à la question 1), on trouve : z2=(1−i2)iz_{2}=(\frac{1-i}{2})iz2=(21i)i
    Ainsi, (1−i2)i=i(1+a)(\frac{1-i}{2})i=i(1+a)(21i)i=i(1+a)

    A la fin des calculs je trouve a= −1+i2-\frac{1+i}{2}21+i


  • Zorro

    Oui c'est cela tu as bien trouvé a non nul et b ; donc S existe.


  • B

    super merci 😄 je vais noter ca au propre et chercher la suite .

    On nous demande de déterminer l'expression complexe de S , donc de manière générale. Est ce qu'elle s'écrit comme ca : f(z)=−(1+i2)z+i-(\frac{1+i}{2})z+i(21+i)z+i ?


  • Zorro

    Je pense que tu es capable de faire la réponse toi même et que tu n'as pas attendu que je te réponde pour continuer à chercher, comme je te l'indiquais plus tôt, les éléments caractéristiques de cette similitude c'est à dire le centre, le rapport et l'angle !


  • B

    En effet, j'ai trouvé que le centre est le point ω\omegaω d'affixe 3i+15\frac{3i+1}{5}53i+1.
    Le rapport est le module de a donc le rapport est tel que k=(sqrtsqrtsqrt2)/2 et l'angle est l'argument de a donc α=−3π4\alpha=-3\frac{\pi}{4}α=34π


  • B

    Comment dois-je m'y prendre pour démontrer que pour tout entier naturel n, AAA_{n+1}=S(An=S(A_n=S(An) ?

    Est ce que cela veut dire (d'après la question précédente) que zn+1z_{n+1}zn+1=−(1+i2)zn+i-(\frac{1+i}{2})z_{n}+i(21+i)zn+i ?


  • Zorro

    Moi j'ai trouvé
    Ω d'afixe ω = 1 + i

    k = √2 / 2

    Θ = -π/4

    Mais je me suis peut-être trompée


  • B

    Quel calcul avez-vous fait pour trouver ω\omegaω=1+i ? Parce que j'ai refait mon calcul et je retombe sur ce que j'ai trouvé en premier . Et pour trouver l'angle égal à pipipi/4 ?


  • Zorro

    Oui je crois que j'ai fait des erreurs de calcul et ta solution semble plausible !

    Pour montrer que An+1A_{n+1}An+1 est image de AnA_nAn par S il faut en effet montrer que

    zn+1,=,−(1+i2)zn,+,iz_{n+1},=,-(\frac{1+i}{2})z_{n},+,izn+1,=,(21+i)zn,+,i


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