Etudier une fonction polynomiale degré 3 et tracer sa courbe
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Aadher01 dernière édition par Hind
Bonjour, un petit problème:
- On cherche à determiner une fonction f polynôme du troisième degrès de la forme f(x)=ax³+bx²+cx+d sachant que sa courbe Cf dans un repère orthonormal (O;i;j) vérifie les trois conditions initiales:
-Cf passe par 0 et admet en ce point une tangente de coefficient directeur -2
- la tangente à Cf en son point d'absisse 1 est parralèle à la droite d'équation y=3x+1
- Cf passe par le point A(-1;2)
a) (question de cours:) Soit x0x_0x0 un réel. en utilisant le taux d'accroissement montrer que f'(x(x(x_0)=3ax0)=3ax_0)=3ax0²+2bx0+2bx_0+2bx0+c
b) en déduire f'(o) et f'(1)
c) En déduire fDans la suite de l'exercice, on pourra supposer que
f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3+x²-2x- Determiner les points d'intersectionde Cf avec les axes des absisses.
3.Donner une équation de la tangente à Cf en O. déterminer son point d'intersection avec CF .
4.Rechercher les abcisses des points Cf où la tangente est parralèle à l'axe des abcisses.
5.étudier les variations de f et donner son tableau de variation.
Donv voila, j'ai buggé dessu j'ai réussi toute la dernière partie avec ma calculette mais je n'ai pas réussi a le démontrer donc voila si vous arrivier a me l'expliquer se serait bien .
merci d'avance
- On cherche à determiner une fonction f polynôme du troisième degrès de la forme f(x)=ax³+bx²+cx+d sachant que sa courbe Cf dans un repère orthonormal (O;i;j) vérifie les trois conditions initiales:
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JJeet-chris dernière édition par
Salut.
Tu as bugué dessus, moi je veux bien, mais à partir de quelle question ? Parce que :
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On dérive pour compléter un système d'équations qui nous permet de déterminer les coefficients.
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Cf coupe l'axe des abscisses ⇔ f(x)=0
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Du cours normalement, puis tangente(x) = f(x).
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On raisonne sur les coefficients directeurs.
@+
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BBaernHard dernière édition par
f(0)=0 ⇒ d=0
f'(0)=-2 ⇒ c=-2
f'(1)=3 ⇒ 3a + 2b - 2 = 3
f(-1)=2 ⇒ -a + b + 2 = 2
Ce qui nous fait pour les valeurs de a et de b .....
Il semblerait que la fonction f soit bien définie par
f(x)=x³+x²-2x=0
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BBaernHard dernière édition par
Ensuite la résolution de l'équation f(x)=0
Une factorisation s'impose ....
x³+x²-2x=0
Le facteur commun saute aux yeux !
Dans l'écriture factorisée, apparaîtra nécessairement un trinôme du second degré qu'il faudra alors résoudre ...
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BBaernHard dernière édition par
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BBaernHard dernière édition par
Equation de la tangente au point d'abscisse x = 0
Calcul de f'(0)
Puis équation de la tangente de la forme y = ax + b
On a la valeur de a = f'(0), reste à trouver la valeur de b ....
Tu auras une confirmation de la valeur de b en regardant la représentation graphique ci-dessus ...
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BBaernHard dernière édition par
Rechercher les abcisses des points Cf où la tangente est parallèle à l'axe des abcisses.
Une nouvelle équation du second degré à résoudre ...
f'(x)=0 ⇔ 3x² + 2x - 2 = 0
Deux solutions qu'il te faudra trouver ...
x'=(-1+√7)/3
x"=(-1-√7)/3Ensuite le tableau de variation , ça devient du gateau ....
@+ sur le net
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Aadher01 dernière édition par
Bon recommencons depuis le début parce que la je comprend pas grand chose merci quand même de m'avoir répondu aussi vite.
alors pour le petit a il faut démontrer que f(x)=ax³+bx²+cx+d a pour dérivée f'(x)=3ax²+2bx+c don c'est la que commence mais problème car je comprend bien cela mais je ne sais pas le démontrer, je sais que ax³ = 3ax² quand on le dérive que bx²= 2bx quand on le dérive que cx et dérivable et donne c et que d est une constante donc sa dérivée et nulle mais comment le démontrer????
pour le 2)
pour calculer f'(o) je remplace tous les x de l'équation précédente par 0 ce qui donne f'(0)= 3a0²+2b0+c donc f'(o)=c c'est ça ? ou pas.?
donc aprés je fais pareil pour 1 ce qui donne :
f'(1)=3a1²+2b1+c
soit f'(1)=3a²+2b+c ??????c) pour ce qui est d'en déduire f je cale.
et le reste je n'est pas réussi sauf a la calculette.
donc voila
aidez moi s'il vous plait.... :frowning2:aufaite j'ai calculer la factorisation de Baernhard
x³+x²-2x= x(x²+x-2)
mais je ne comprend pas a quoi elle sert.
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Vvalek dernière édition par
salut.
tu as:f(x)=axf(x)=axf(x)=ax^3+bx2+bx^2+bx2+cx+d
tu auras :f'(-2)=0 et f(-1)=2 aussi on a f'(1)=0 // à l'équation y=3x+1
donc f'(x)=3ax2(x)=3ax^2(x)=3ax2+2bx+c tu dois avoir ce systeme :
f'(-2)=0:12a-4b+c=0
f(-1)=2:-ac+d=2
f'(1)=0:3a+2b+c=3 car 2 droites paralleles on même coefiscient directeur au niveau de la tangente tu derive f(x) et tu cherche l'equation de la tangente en 1 puis tu identifie avec y suivant les ordres de puissances pour obtenir la 3e3^e3e equation.
tu n'auras qu'à resoudre ce systeme de 3 equation.
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Aadher01 dernière édition par
Je suis vraiment désolé de vous dire ça comme ça mais pouvez vous m'expliquer plutot que me donner dirctement les réponses car je ne comprend vraiment pas ! même pas la question 1. alors c'est pour
Mais merci quand même d'avoir essayer c'est super gentil alorssi vous arriver a me faire comprend se serait génial
merci d'avance et bonne soirée
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Mmiumiu dernière édition par
coucou
je débarque dans l'exercice
a) (question de cours ) Soit x0x_0x0 un réel. en utilisant le taux d'accroissement montrer que f′(x0)=3ax02+2bx0+cf'(x_0)=3ax_0^2+2bx_0+cf′(x0)=3ax02+2bx0+cje regarde le cours
définitionSi f est une fonction qui va de [a,b] dans R, et si x0x_0x0 est un point de [a,b], le taux d'accroissement de f en x0x_0x0 est la fonction définie, là où c'est possible, par t(h)=f(x0+h)−f(x0)ht(h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}t(h)=hf(x0+h)−f(x0). Le nombre dérivé est la limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0.
donc j'applique cette définition à notre fonction
t(h)=a(x0+h)3+b(x0+h)2+c(x0+h)+d)−(ax03+bx02+cx0+d)ht(h) = \frac{a(x_0+h)^3+b(x_0+h)^2 + c(x_0+h) + d)-(ax_0^3+ bx_0^2 + cx_0 + d)}{h}t(h)=ha(x0+h)3+b(x0+h)2+c(x0+h)+d)−(ax03+bx02+cx0+d)
je développe et je simplifie
t(h)=3x02h+3x0h2+h3+2x0h+h2+chht(h) = \frac{3x_0^2h+ 3x_0h^2 + h^3 + 2x_0h + h^2 + ch}{h}t(h)=h3x02h+3x0h2+h3+2x0h+h2+ch
t(h)=3x02+3x0h+h2+2x0+h+ct(h) = 3x_0^2 + 3x_0h + h^2 + 2x_0 + h + ct(h)=3x02+3x0h+h2+2x0+h+c
lorsque h tend vers 0 on a
limh→0t(h)=limh→0(3x02+3x0h+h2+2x0+h+c)=3x02+2x0+c\lim _{h \rightarrow 0}t(h) = \lim _{h \rightarrow 0}(3x_0^2 + 3x_0h + h^2 + 2x_0 + h + c) = 3x_0^2 + 2x_0 + climh→0t(h)=limh→0(3x02+3x0h+h2+2x0+h+c)=3x02+2x0+c
ok ?!
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Aadher01 dernière édition par
Enfaite ici f(a+h) est remplacée par a(x+h)³+b(x+h)²+c(x+h)+d ????
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Mmiumiu dernière édition par
est ce que j'ai mis f(a+h)f(a+h)f(a+h) ?! non j'ai mis f(x0+h)f(x_0+h)f(x0+h) qui est remplaçé par
a(x0+h)3+b(x0+h)2+c(x0+h)+da(x_0+h)^3+b(x_0+h)^2+c(x_0+h)+da(x0+h)3+b(x0+h)2+c(x0+h)+d
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Aadher01 dernière édition par
non désolé mais c'est parce que dans mon cours de math je l'ai appris sous la forme f(a+h)
désolé.
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Aadher01 dernière édition par
Pour le petit b, quand il nous demande de déduire du a f(0) et f(1), pour les déduire je remplace x par 0 et x par 1??
ce qui nous donnerais^pour f(0)=a×0³+b×0²+c0+d
=d ???
pour f(1)= a1³+b1²c+d
=a+b+c+d???merci d'avance
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Mmiumiu dernière édition par
il faut que tu apprennes a lire ton énoncé
b) en déduire f'(0) et f'(1)
on t'interroge sur la dérivée donc tu prends la formule de la dérivée que tu viens de calculer et tu rempléçes le x0x_0x0 par 0 et 1
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Aadher01 dernière édition par
ce qui donne
f'(o)=(a(0+h)³+b(0+h)²+c(0+h)+d-(a×0³+b×0²+c×0+d))/h??
f'(0)=(ah³+bh²+c+d-d)/h
f'(0)=ah³+bh²+c)/h
et lorsque h tend vers 0
limf'(0)=0 ,?????????????????????????
h→0
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Mmiumiu dernière édition par
mais qu'est ce que tu me fais comme calculs ?!
f′(x0)=3ax02+2bx0+cf'(x_0)=3ax_0^2+2bx_0+cf′(x0)=3ax02+2bx0+c
tu viens de le prouver c'est fini maintenant on utilise cette formule pas besoin de revenir en arrièref′(0)=3a×02+2b×0+c=cf'(0 ) = 3a\times 0^2 + 2b\times 0 + c = cf′(0)=3a×02+2b×0+c=c
f′(1)=3a×12+2b×1+c=3a+2b+cf'(1) = 3a\times 1^2 + 2b\times 1 + c = 3a + 2b +cf′(1)=3a×12+2b×1+c=3a+2b+c
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Aadher01 dernière édition par
Ah okay je me suis encore compliqué la vie pour rien. Mais pour trouver f (au petit c ) comment on fait vu que l'on a aucune valeures ? et quand il demande de calculer f c'est par la dérivée c'est la fonction initiale ?
merci beaucoup
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Mmiumiu dernière édition par
quelle est la formule pour calculer l'équation d'une tangente en un point x0x_0x0?
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Aadher01 dernière édition par
je crois me rappeller que la formule est a(x+h)+f(x) mais j'ai un doute entre + f(x) ou +f'(x)
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Mmiumiu dernière édition par
y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f '(x_0) (x - x_0) + f(x_0)y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)
je ne peux pas apprendre ton cours à ta place malheureusement
maintenant tu vas lire ton énoncé , les données que l'on te donne sur la fonction ( en ce qui concerne les tangentes ...)
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Aadher01 dernière édition par
les donées que j'ai concernant les tangentes sont:
-Cf passe par 0 et admet en ce point une tangente de coefficient directeur -2
- la tangente à Cf en son point d'absisse 1 est parralèle à la droite d'équation y=3x+1
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Aadher01 dernière édition par
on peut remplacé x0x_0x0 par -2 car le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente
donc y= -2(x-2)+f(-2) est cela ou pas du tout ?
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Mmiumiu dernière édition par
ok je pense qu'il y a de l'idée ...
la tangente en 0
pour x_0 = 0y(x)=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y (x) = f '(x_0) (x - x_0) + f(x_0)y(x)=f′(x0)(x−x0)+f(x0)
y(x)=cx−c×0+dy (x) = c x - c \times 0 + dy(x)=cx−c×0+d
y(x)=cx+dy(x) = cx + dy(x)=cx+d
or dans l'énoncé on nous dit que son coefficient directeur c'est -2 donc c= -2
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Aadher01 dernière édition par
désolé mais la je ne comprend plus :frowning2:
ou est parti le f'(x0(x_0(x0)et f(x0f(x_0f(x0) le (x−x0(x-x_0(x−x0) et d'où viennent le -c*0d+cx ?
désolé mais la j'ai buggé
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Mmiumiu dernière édition par
ok alors je suis peut être allée trop vite :rolling_eyes:
la tangente en 0
pour x0=0x_0 = 0x0=0y(x)=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y (x) = f '(x_0) (x - x_0) + f(x_0)y(x)=f′(x0)(x−x0)+f(x0)
y(x)=f′(0)(x−0)+f(0)y (x) = f '(0) (x - 0) + f(0)y(x)=f′(0)(x−0)+f(0)
or f′(0)=cf'(0) = cf′(0)=c voir la question précédente
f(0)=a×03+b×02+c×0+d=df(0) = a\times 0^3 + b\times 0^2 + c\times 0 + d = df(0)=a×03+b×02+c×0+d=d
je développey(x)=cx−c×0+dy (x) = c x - c \times 0 + dy(x)=cx−c×0+d
y(x)=cx+dy(x) = cx + dy(x)=cx+d
or dans l'énoncé on nous dit que son coefficient directeur c'est -2 donc c= -2
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Aadher01 dernière édition par
okay j'ai compris donc vu que c=-2
y=-2×x+d
y=-2x+d
Mais on ne connait pas d
et le fait de calculer y nous permet de connaitre f ??
merci encore :rolling_eyes:
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Mmiumiu dernière édition par
la tangente en 1
pour x0=1x_0 = 1x0=1y(x)=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y (x) = f '(x_0) (x - x_0) + f(x_0)y(x)=f′(x0)(x−x0)+f(x0)
y(x)=f′(1)(x−1)+f(1)y (x) = f '(1) (x - 1) + f(1)y(x)=f′(1)(x−1)+f(1)
or f′(1)=3a+2b+c=3a+2b−2f'(1) = 3a + 2b + c = 3a + 2b -2f′(1)=3a+2b+c=3a+2b−2 voir la question précédente
f(1)=a×13+b×12−2×1+d=a+b−2+df(1) = a\times 1^3 + b\times 1^2 -2\times 1 + d = a + b -2+ df(1)=a×13+b×12−2×1+d=a+b−2+d
je développey(x)=(3a+2b−2)x−(3a+2b−2)+a+b−2+dy (x) = (3a + 2b -2)x - (3a + 2b -2) + a + b -2+ dy(x)=(3a+2b−2)x−(3a+2b−2)+a+b−2+d
y(x)=(3a+2b−2)x−2a−b+dy(x) = (3a + 2b -2)x -2a -b + dy(x)=(3a+2b−2)x−2a−b+d
or dans l'énoncé on nous dit que
la tangente à Cf en son point d'absisse 1 est parralèle à la droite d'équation y=3x+1donc le coefficient directeur de notre tangente est le même que cette droite
3a+2b−2=33a + 2b -2 = 33a+2b−2=3
soit 3a+2b=53a + 2b = 53a+2b=5
je regarde les autres conditions pour pouvoir faire le système ...
dis moi si tu suis jusque là
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Mmiumiu dernière édition par
de plus nous avons f(0) = 0 donc
a×03+b×02+c×0+d=0a\times 0^3 + b\times 0^2 + c\times 0 + d = 0a×03+b×02+c×0+d=0
donc d=0Cf passe par le point A(-1;2)
donc a×(−1)3+b×(−1)2−2×−1+0=2a\times (-1)^3 + b\times (-1)^2 -2\times -1 + 0 = 2a×(−1)3+b×(−1)2−2×−1+0=2
donc −a+b=4-a +b= 4−a+b=4
tu as le système
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Aadher01 dernière édition par
C'est un peu compliqué mais je crois que je comprend enafite la on a pris l'équation de droite de f(1) et f(0) pour en déduire f ?? c'est ça ?
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Mmiumiu dernière édition par
bon ba je vais te faire un post de récapitulation
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Mmiumiu dernière édition par
Post récapitulatif de la question 1/c :
énoncé
- On cherche à determiner une fonction f polynôme du troisième degrès de la forme f(x)=ax³+bx²+cx+d sachant que sa courbe Cf dans un repère orthonormal (O;i;j) vérifie les trois conditions initiales:
-Cf passe par 0 et admet en ce point une tangente de coefficient directeur -2
- la tangente à Cf en son point d'absisse 1 est parralèle à la droite d'équation y=3x+1
- Cf passe par le point A(-1;2)
c) En déduire f
premièrement:
Cf passe par 0
alors la courbe passe par le point O (0;0)
donc f(0)=0f(0) = 0f(0)=0
alors
a×03+b×02+c×0+d=0a\times 0^3 + b\times 0^2 + c\times 0 + d = 0a×03+b×02+c×0+d=0
donc d=0deuxièmement :
0 et admet en ce point une tangente de coefficient directeur -2
la tangente en 0
pour x0=0x_0 = 0x0=0y(x)=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y (x) = f '(x_0) (x - x_0) + f(x_0)y(x)=f′(x0)(x−x0)+f(x0)
y(x)=f′(0)(x−0)+f(0)y (x) = f '(0) (x - 0) + f(0)y(x)=f′(0)(x−0)+f(0)
or f′(0)=cf'(0) = cf′(0)=c
f(0)=a×03+b×02+c×0+d=df(0) = a\times 0^3 + b\times 0^2 + c\times 0 + d = df(0)=a×03+b×02+c×0+d=d
je développey(x)=cx−c×0+dy (x) = c x - c \times 0 + dy(x)=cx−c×0+d
y(x)=cx+dy(x) = cx + dy(x)=cx+d
or dans l'énoncé on nous dit que son coefficient directeur c'est -2 donc c= -2
troisièmement :
la tangente à Cf en son point d'absisse 1 est parralèle à la droite d'équation y=3x+1y=3x+1y=3x+1
la tangente en 1
pour x0=1x_0 = 1x0=1y(x)=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y (x) = f '(x_0) (x - x_0) + f(x_0)y(x)=f′(x0)(x−x0)+f(x0)
y(x)=f′(1)(x−1)+f(1)y (x) = f '(1) (x - 1) + f(1)y(x)=f′(1)(x−1)+f(1)
or f′(1)=3a+2b+c=3a+2b−2f'(1) = 3a + 2b + c = 3a + 2b -2f′(1)=3a+2b+c=3a+2b−2
f(1)=a×13+b×12−2×1+d=a+b−2+df(1) = a\times 1^3 + b\times 1^2 -2\times 1 + d = a + b -2+ df(1)=a×13+b×12−2×1+d=a+b−2+d
je développey(x)=(3a+2b−2)x−(3a+2b−2)+a+b−2+dy (x) = (3a + 2b -2)x - (3a + 2b -2) + a + b -2+ dy(x)=(3a+2b−2)x−(3a+2b−2)+a+b−2+d
y(x)=(3a+2b−2)x−2a−b+dy(x) = (3a + 2b -2)x -2a -b + dy(x)=(3a+2b−2)x−2a−b+d
la tangente à Cf en son point d'absisse 1 est parralèle à la droite d'équation y=3x+1
donc le coefficient directeur de notre tangente est le même que cette droite
3a+2b−2=33a + 2b -2 = 33a+2b−2=3soit 3a+2b=53a + 2b = 53a+2b=5
nous avons une partie de notre système 3a+2b=53a + 2b = 53a+2b=5
quatrièmement :
Cf passe par le point A(-1;2)
donc a×(−1)3+b×(−1)2−2×−1+0=2a\times (-1)^3 + b\times (-1)^2 -2\times -1 + 0 = 2a×(−1)3+b×(−1)2−2×−1+0=2
donc −a+b=4-a +b= 4−a+b=4
nous avons notre deuxième équation pour le système −a+b=4-a +b= 4−a+b=4
Résolution du sytème nous permettant de trouver a et b .
$\left {\begin{array} -a + b = 4 \ 3a + 2b = 5 \ \end{array} \right$
je pense que tu es capable de résoudre un système maintenant ...
la première condition du système est fausse nous avons corrigé plus loin
- On cherche à determiner une fonction f polynôme du troisième degrès de la forme f(x)=ax³+bx²+cx+d sachant que sa courbe Cf dans un repère orthonormal (O;i;j) vérifie les trois conditions initiales:
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Aadher01 dernière édition par
-a+b=4
3a+b=5 donc b=4+ad'ou 3a+4+a=5
4a = 5-4
a =1/4
3(b-4)+b=5
3b-12+b=5
4b=12+5
b=18/4
b=9/2S{b=9/2 et a=1/4}
est ce que c'est ça que je suis censé obtenir ?
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BBaernHard dernière édition par
Le système à résoudre
-a+b=0
3a+2b=4il me semble ... :rolling_eyes:
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Aadher01 dernière édition par
Tu es sur car miumiu n'a pâs trouvé celui ci ???
elle a trouvé: -a+b=4
3a+b=5
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Mmiumiu dernière édition par
je vais me répéter mais essaie d'être plus concentrée sur ce que tu fais
il suffit juste de savoir lire
j'ai le bon système
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Aadher01 dernière édition par
Je n'ai pas dit que tu avais faux.
donc estce que la résolution du système que j'ai faite est bon ?
Citation
-a+b=4
3a+b=5 donc b=4+ad'ou 3a+4+a=5
4a = 5-4
a =1/4
3(b-4)+b=5
3b-12+b=5
4b=12+5
b=18/4
b=9/2S{b=9/2 et a=1/4}
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Mmiumiu dernière édition par
mais non avec Baernhard on essaie de te dire que c'est
-a+b=4
3a+
2b=5et non
-a+b=4
3a+b=5
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Aadher01 dernière édition par
Ah okay c'est vrai que sur ce coup la je n'était as trés concentrée donc je refais mon système :
-a+b=4
3a+2b=5 donc b=4+ad'ou 3a+2(4+a)=5
3a+2a=5-8
a=-3/5
a=Et cette fois est-il bon ?
3(b-4)+2b=5
3b-12+2b=5
5b=12+5
b=18/5S{b=18/2 et a=-3/5}