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Envoyé: 04.01.2007, 21:24
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Une étoile
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Voici l'exercice :
On considère un triangle rectangle de périmètre 12 cm. Le but de l'exercice est de déterminer le triangle d'aire maximale. On note x et y les longueurs des cotés de l'angle droit du triangle rectangle de périmètre 12.
1)Justifier que x appartient à l'intervalle I=[0;6]
2)Démontrer que : y=(12(x-6))/(x-12)
3) En déduire que l'aire A(x) du triangle est égale à A(x)=(6x²-36x)/(x-12)
4)a)Etudier la fonction A sur l'intervalle [0;6]
b) En déduire que le triangle d'air maximale est isocèle.
Si quelqu'un pourrait m'aider ce serait gentil....
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Envoyé: 04.01.2007, 21:47
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Modératrice
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Bonjour,
Et dans tout cela tu n'as vraiment rien fait ?
Dans un triangle rectangle, il n'y a pas beaucoup de théorèmes qui permettent de calculer des longueurs quand on en connait certaines
Tu ne sais pas étidier la fonction A définie par A(x) = ......
Tu ne sais pas comment on peut déternimer si cette fonction admet un maximum ou non ?
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Envoyé: 04.01.2007, 21:58
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Une étoile
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Je suis bloquée sur la première question.
Je crois que je n'ai jamais vu ça. Donc si tu pourrais m'aider ce serait sympa.
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Envoyé: 04.01.2007, 22:05
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Modératrice
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Tu connais le périmètre du triangle ! Donc tu connais la somme des longueurs des 3 côtés du triangle.
Tu connais le théorème de Pythagore ...
Tu fais un dessin et tu utilises les informations que tu as !
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Envoyé: 04.01.2007, 22:09
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Une étoile
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oui mais cela ne me permet pas de justifier que x appartient a l'intervalle [0;6].
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Envoyé: 05.01.2007, 08:41
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Modératrice
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IL faut se servir de l'inégalité triangulaire vue au collège : "Pour pouvoir dessiner un triangle il faut que la longueur de chaque côté soit inférieure à la somme des mesures des 2 autres."
Si x et y sont les mesures des côtés de l'angle droit et z celle de l'hypothénuse on a donc x + y + z = 12
et x ≤ y + z
on arrive donc à x ≤ 6
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Envoyé: 05.01.2007, 15:30
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Une étoile
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Merci, je vais essayer de faire la suite.
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Envoyé: 05.01.2007, 16:39
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Une étoile
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J'ai réussi la deuxième question:
P=12
x+y+√(x²+y²)=12
√(x²+y²)=12-(x+y)
x²+y²=144-24(x+y)+(x+y)²
x²+y²=144-24x-24y+x²+2xy+y²
donc: 2xy-24x-24y+144=0
xy-12x-12y+72=0
soit: xy-12y=12x-72
y(x-12)=12(x-6) donc: y=(12(x-6))/(x-12)
Mais la troisième question je n'y arrive pas. Peut tu m'aider ?
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Envoyé: 05.01.2007, 16:56
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Cosmos
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Salut
moi je proposerais d'utiliser tout simplement la formule de l'aire d'un triangle, c'est à dire : A(x) = (base * hauteur) /2
Sachant qu'ici la base et la hauteur sont respectivement x et y .
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Envoyé: 05.01.2007, 17:39
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Une étoile
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Ca y est j'ai trouvé.
A(x)= (x*y)/2
A(x)=(x*[(12(x-6))/(x-12)])/2
Je développe et je trouve:
A(x)=(6x²-36x)/(x-12)
Mais comment en déduire que le triangle d'aire maximale est isocèle ??
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Envoyé: 05.01.2007, 17:46
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Cosmos
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coucou
tu vas étudier les variations la fonction d'abord
dérivée ...
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Envoyé: 05.01.2007, 17:50
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Cosmos
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Comme écrit dans l'énoncé, étudie la fonction que tu as trouvée sur [0,6]. Et il se trouve que la valeur maximale est la solution de l'équation
x = (12(x-6))/(x-12) soit x = y. Voilà !
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Envoyé: 05.01.2007, 18:45
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Une étoile
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ok. merci
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