DM : vitesse de propagation d'une rumeur (équa diff)

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	DM : vitesse de propagation d'une rumeur (équa diff)

Amine75	Envoyé: 30.12.2006, 15:58
Une étoile enregistré depuis: déc. 2006 Messages: 16 Status: hors ligne dernière visite: 31.12.06	Salut à tous j'ai un exercice dans mon DM de maths pour la rentrée ou je bloque totale, j'ai fais la question petit b, sinon tout le reste je ne vois vraiment pas, merci pour tous ceux qui prendront la peine de m'aider, voilà l'exo en question: Une ville compte 10000 habitants, a 8h du matin, 100 personnes apprennent une nouvelle. On note $y(t)$ la fréquence des personnes connaissant la rumeur à l'instant t (exprimé en heures) On choisit 8h comme instant initial $t=0$ La nouvelle se répand dans la ville de sorte que la vitesse de propagation $y'(t)$ est proportionnelle à la fréquence de ceux qui ne la connaissent pas. On admet que le coefficient de proportionnalité est $1.15$ a. Montrer que la fonction y est la solution de l'équation différentielle: $y'=1.15y(1-y)$ avec $y(0)=0.01$ et définie sur $[0;{+}\infty[.$ b. La fonction $z$ est dénfinie par $z=\frac{1}{y}$ ( $y$ ne s'annule pas) Prouver que $z$ vérifie l'équation $z'= -1.15z+1.15$ En déduire l'expression de $y(t)$ c- Etudier le sens de variation de la fonction $y$ . Quelle est la limite de $y$ en ${+}\infty$ ? Tracer la courbe représentative de la fonction $y$ . d.Combien de personnes connaissent la nouvelle à midi ? e. En utilisant le graphique ou une calculatrice, donner une approximation de l'instant auquel 99% de la population connaitra la rumeur. Edit Zorro : Modification du titre DM de Maths .... y a mieux pour résumer son énoncé et puis j'ai un peu aéré pour que ce soit plus attractif miumiu passage au LateX modifié par : miumiu, 30 Déc 2006 - 16:37 "Il n'ya que la haine pour rendre les gens intelligents" Albert Camus


Zorro	Envoyé: 30.12.2006, 16:31
Modératrice enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 5194 Status: hors ligne dernière visite: 07.09.08	Bonjour et bienvenue, As-tu commencé à réfléchir et trouvé quelques résultats ?

miumiu	Envoyé: 30.12.2006, 16:40
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	coucou ce ne serait pas $y'=1.15(1-y)...$ parce que sinon ce n'est pas très logique nan?! je ne sais pas je dis peut être n'importe quoi lol en plus avec le b)... ouè nan pas grave :D modifié par : miumiu, 30 Déc 2006 - 16:53

Amine75	Envoyé: 30.12.2006, 18:19
Une étoile enregistré depuis: déc. 2006 Messages: 16 Status: hors ligne dernière visite: 31.12.06	oui, j'ai commencé, j'ai réussi à répondre au petit b, sinon le reste, j'ai vraiment cherché je ne trouves pas "Il n'ya que la haine pour rendre les gens intelligents" Albert Camus

miumiu	Envoyé: 30.12.2006, 20:33
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	donc tu as trouvé ce que c'est que $y$ alors ?? si tu as fait le b...

Amine75	Envoyé: 30.12.2006, 20:45
Une étoile enregistré depuis: déc. 2006 Messages: 16 Status: hors ligne dernière visite: 31.12.06	heu, non j'ai juste vérifier que z= 1/y verifié bien l'équation, j'avoues que cet exo me prend la tête, ca fait depuis hier soir que je suis dessus, et je penses ne pas comprendre car je me suis mis dans la tête qu'il était raide "Il n'ya que la haine pour rendre les gens intelligents" Albert Camus

Amine75	Envoyé: 30.12.2006, 20:51
Une étoile enregistré depuis: déc. 2006 Messages: 16 Status: hors ligne dernière visite: 31.12.06	ah y n'est pas égal à 1? "Il n'ya que la haine pour rendre les gens intelligents" Albert Camus

miumiu	Envoyé: 30.12.2006, 20:55
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	lol ok on va se déstresser alors :D je vais t'aider du mieux que je peux je ne te garantie pas de tout faire mais bon déjà pour trouver $y(t)$ tu vas me trouver les solutions de $z'=-1.15z+1.15$

Amine75	Envoyé: 30.12.2006, 21:03
Une étoile enregistré depuis: déc. 2006 Messages: 16 Status: hors ligne dernière visite: 31.12.06	ce n'est pas f(x)= Ke^-1.15+1? "Il n'ya que la haine pour rendre les gens intelligents" Albert Camus

miumiu	Envoyé: 30.12.2006, 21:06
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	il sors d'où ce $f$ lol oui donc tu peux trouver le $K$ avec l'indication qu'on te donne $y(0)=0,01 ...$

Amine75	Envoyé: 30.12.2006, 21:20
Une étoile enregistré depuis: déc. 2006 Messages: 16 Status: hors ligne dernière visite: 31.12.06	désolé c'est y(t) = ke^-1.15x+1 avec la condition initiale y(0)=1/100 on a y(t)= je n'ai plus la formule "Il n'ya que la haine pour rendre les gens intelligents" Albert Camus

miumiu	Envoyé: 30.12.2006, 21:28
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	nan nan c'est $z(t)=ke^{-1.15t}+1$ et k appartient a R ensuite on a $z(t)=\frac{1}{y(t)}$ donc tu remplaçes $t$ par $0$ ... modifié par : miumiu, 30 Déc 2006 - 21:30

Amine75	Envoyé: 30.12.2006, 21:40
Une étoile enregistré depuis: déc. 2006 Messages: 16 Status: hors ligne dernière visite: 31.12.06	donc y(t)= 1.01e^-1.15x+1 c faux? "Il n'ya que la haine pour rendre les gens intelligents" Albert Camus

miumiu	Envoyé: 30.12.2006, 21:44
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	ba je ne trouve pas ça nan donne moi ton expression de $z(t)$ au complet s'il te plait

Amine75	Envoyé: 30.12.2006, 21:47
Une étoile enregistré depuis: déc. 2006 Messages: 16 Status: hors ligne dernière visite: 31.12.06	heu, l'expression de z(t)? "Il n'ya que la haine pour rendre les gens intelligents" Albert Camus

Amine75	Envoyé: 30.12.2006, 22:02
Une étoile enregistré depuis: déc. 2006 Messages: 16 Status: hors ligne dernière visite: 31.12.06	alors je trouves que y(t) = 1/100e^-1.15x+1 t'es d'accord? "Il n'ya que la haine pour rendre les gens intelligents" Albert Camus

miumiu	Envoyé: 30.12.2006, 22:05
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	tu as $z'(t)=-1.15z+1.15$ donc tu trouves l'expression de $z$ je veux que tu me remettes la bonne solution attends pour l'expression de $y$

Amine75	Envoyé: 30.12.2006, 22:11
Une étoile enregistré depuis: déc. 2006 Messages: 16 Status: hors ligne dernière visite: 31.12.06	z(t)=1.01e^-1.15x+1? donc y(t)=1/1.01e^-1.15x+1? pr l'étude de signe je pense que c'est tjs positif, donc y strictement croissante et la lim en +infini donne 1? aieee j'ai mal à la tête "Il n'ya que la haine pour rendre les gens intelligents" Albert Camus

Amine75	Envoyé: 30.12.2006, 22:14
Une étoile enregistré depuis: déc. 2006 Messages: 16 Status: hors ligne dernière visite: 31.12.06	bon, j'ai trouvé y(t)=1/99e^-1.15x+1 t'es d'accord avec moi pour le reste? au sujet du signe, des variations et de la lim? "Il n'ya que la haine pour rendre les gens intelligents" Albert Camus

miumiu	Envoyé: 30.12.2006, 22:15
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	z(0)=100 z(0)=K+1 donc K=99 ... ok?!

Amine75	Envoyé: 30.12.2006, 22:19
Une étoile enregistré depuis: déc. 2006 Messages: 16 Status: hors ligne dernière visite: 31.12.06	bon, j'ai trouvé y(t)=1/99e^-1.15x+1 t'es d'accord avec moi pour le reste? au sujet du signe, des variations et de la lim?===> tu vois bien ici que j'avais déja trouvé que k=99 :) pour le reste t'es ok? "Il n'ya que la haine pour rendre les gens intelligents" Albert Camus

miumiu	Envoyé: 30.12.2006, 22:23
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	donc attends je vais remettre le truc bien $y(t)=\frac{1}{99e^{-1.15t}+1}$ ce n'est pas parce que la y(t) est positive que y est strictement croissante

Amine75	Envoyé: 30.12.2006, 22:25
Une étoile enregistré depuis: déc. 2006 Messages: 16 Status: hors ligne dernière visite: 31.12.06	ba non, je sais bien! je calcule la dérivée, je déduis le signe, et j'en déduis les variations ( classique) mais on peut partir du fait que y'(t)>0 dans le petit a de l'énonce, donc y serait croissante, et pr la limite t'es ok? je penses que c bien ça, maintenant pr le d c'est une résolution d'équa? "Il n'ya que la haine pour rendre les gens intelligents" Albert Camus

miumiu	Envoyé: 30.12.2006, 22:26
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	tu calcules la dérivée normalement en effet je trouve un truc de positif (c'est peut être comme ça que tu l'avais justifié mais comme tu n'as rien mis... lol) donc oui y est strictement croisante

miumiu	Envoyé: 30.12.2006, 22:30
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	ok dialogue de sourds expdr oui pour la limite aussi je regarde le d

miumiu	Envoyé: 30.12.2006, 22:33
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	alors pour la d et bien il suffit de remplcer le t par 4 ... (parce que t=0 c'est pour 8h ...) ça me semble logique comme ça nan?

Amine75	Envoyé: 31.12.2006, 03:56
Une étoile enregistré depuis: déc. 2006 Messages: 16 Status: hors ligne dernière visite: 31.12.06	oui, oui c'est logique, j'ai terminé l'exo, pour la d je trouve 50 personnes? je suis aps sur, et pour la e, je trouve que c'est à 16h que 99% des personnes sont au courant, pour x=8 "Il n'ya que la haine pour rendre les gens intelligents" Albert Camus

Amine75	Envoyé: 31.12.2006, 03:59
Une étoile enregistré depuis: déc. 2006 Messages: 16 Status: hors ligne dernière visite: 31.12.06	non, c'est 5012 personnes :) "Il n'ya que la haine pour rendre les gens intelligents" Albert Camus

miumiu	Envoyé: 31.12.2006, 09:13
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	c'est pas bien de travailler si tard (tôt ) mdr je trouve comme toi par contre pour le e) certe c'est pour $t=$ 8 (il n'y a pas de $x$ hein ?! lol) donc l'heure c'est 16h bon alors il ne reste plus que la première question ;) on va y arriver à le finir ton exo :D

miumiu	Envoyé: 31.12.2006, 09:21
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	j'arrive a comprendre d'où sort le $(1-y)$ mais pas encore pourquoi ils l'ont multiplié par $y$ ...

Amine75	Envoyé: 31.12.2006, 12:56
Une étoile enregistré depuis: déc. 2006 Messages: 16 Status: hors ligne dernière visite: 31.12.06	même le petit a je suis y arrivé :), et y ou x, c'est la même ca reste une variable non? "Il n'ya que la haine pour rendre les gens intelligents" Albert Camus

miumiu	Envoyé: 31.12.2006, 13:03
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	ce sont $x$ et $t$ les variables oui c'est la même chose de dire $f(t)= t+1$ ou $f(x)=x+1$ mais bon il vaut mieux garder les même notations dans tout l'exercice tu as fait quoi pour le 1 juste par curiosité ... modifié par : miumiu, 31 Déc 2006 - 13:03