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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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Fin 

limite et dérivée fonction expo

- classé dans : Fonction exponentielle

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Envoyé: 12.12.2006, 12:52

Voie lactée


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Bonjour, je bloque sur 3 questions, j'aimerais vraiment qu'on m'aide avant vendredi où je dois rendre mon devoir, svp icon_rolleyes
je dois calculer la limite en + infini de cette fonction :
f(x) = (x.ex ) / (ex + 1)
en ce qui concerne le dénominateur je pense que c'est + l'infini mais je bloque pour le numérateur

la 2ème question me dit :
montrer que f'(x) = (ex.g(x))/(ex + 1)²
et g(x) = ex +x + 1
là je n'y arrive pas du tout, est-ce qu'il faut que je fasse u'v-v'u/v² ou que je parte de (ex.g(x))/(ex + 1)² en remplaçant g(x) par ses valeurs et que je développe ?

dernière question il faut ensuite montrer que f(α ) = α + 1 . En déduire un encadrement de f(α ) à 10-2 près

merci d'avance

modifié par : Maeva6, 12 Déc 2006 - 12:53
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Envoyé: 12.12.2006, 13:00

Modérateur
Zauctore

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Je pense que le mieux est de factoriser par ex au dénominateur pour trouver la limite de ta première question.

f est de la forme u/v, donc tu dois appliquer la formule que tu cites et obtenir après quelques calculs l'expression qui t'est gentiment donnée par le concepteur du sujet.

Enfin, tu ne nous dis pas ce qu'est α : je suppose que c'est l'unique solution de l'équation g(x) = 0... Il faut remplacer, calculer... il y a déjà qq exercices de ce genre dans les archives de TS de la semaine dernière, il me semble...
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Envoyé: 12.12.2006, 14:04

Cosmos
miumiu

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coucou
je modifie un peu ton post pour plus de clarté

Maeva6
Bonjour, je bloque sur 3 questions, j'aimerais vraiment qu'on m'aide avant vendredi où je dois rendre mon devoir, svp icon_rolleyes
je dois calculer la limite en + infini de cette fonction :



en ce qui concerne le dénominateur je pense que c'est + l'infini mais je bloque pour le numérateur

la 2ème question me dit :

montrer que


et

là je n'y arrive pas du tout, est-ce qu'il faut que je fasse ou que je parte de en remplaçant par ses valeurs et que je développe ?

dernière question il faut ensuite montrer que . En déduire un encadrement de à 10-2 près

merci d'avance

sorry sorry j'avais mal lu pour les carrés ;)



modifié par : miumiu, 12 Déc 2006 - 14:48
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Envoyé: 12.12.2006, 14:29

Voie lactée


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oui c'est vrai excusez moi pour le α je n'y avais même pas pensé que c'était le même que celui dans une question plus haut, mais c'est bien la solution de l'équation g(x) = 0 et j'avais trouvé -1.28 < α < -1.27 , merci de m'avoir éclairé là dessus, je l'ai fait à la calculatrice et j'obtiens pour x = -1.28 f(x) = -0.2179 et x = -1.27 f(x) = -0.2174 , vous pensez que c'est bon ? mais pour l'encadrement à 10-2 près comment je fais ? j'ai l'impression que ce n'est pas encore ça...

en ce qui concerne la question sur la dérivée, j'ai fait :
u = x.ex
u' = ex
v = ex + 1
v' = ex
est-ce que c'est bon ?
ensuite je me retrouve avec le numérateur :
ex(ex+1)-ex(x-ex)
et après j'aimerais mettre un seul ex en facteur mais vu qu'il y a un - devant la deuxième partie ça changerait de signe et ça ne peut pas aller comme ça... pouvez-vous m'aider svp?

pour la limite est-ce qu'il faut que je fasse la limite de ex * x ou (ex +1) * x.ex ?

merci beaucoup pour votre aide ! (et merci miumiu pour avoir modifié mon post)
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Envoyé: 12.12.2006, 14:54

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Salut.

Non, la dérivée de u n'est pas ex. Pense que c'est la dérivée d'un produit.

Ensuite, même si l'expression va changer, il n'y a aucun problème à mettre ex en facteur:

ex(ex+1)-ex(x-ex) = ex[(ex+1)-(x-ex)]

En ce qui concerne la limite, Zauctore t'as conseillé très justement de mettre ex en facteur au dénominateur, ce qui te permettra de virer l'exponentielle du haut.

En gros: dénominateur = ex+1 = ex( ... ), à toi de déterminer ce qu'il y a dans les parenthèses.

@+
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Envoyé: 12.12.2006, 21:10

Voie lactée


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ok, il faut que je fasse ça alors ?
(u.v)' = u'v+v'u , j'obtiens :
u = x
u' = 1
v = ex
v' = ex
mais Zauctore m'a dit qu'il fallait faire u/v ... alors est-ce qu'il faut que je fasse les deux ? vos conseils m'éclairent petit à petit mais je dois avouer que plus c'est évident et plus je me complique ...

pour la limite je fais ex(x) ?



modifié par : Maeva6, 12 Déc 2006 - 21:13
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Envoyé: 12.12.2006, 21:16

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Maeva6
ok, il faut que je fasse ça alors ?
(u.v)' = u'v+v'u , j'obtiens :
u = x
u' = 1
v = ex
v' = ex
mais Zauctore m'a dit qu'il fallait faire u/v ... alors est-ce qu'il faut que je fasse les deux ? vos conseils m'éclairent petit à petit mais au final ça devient de plus en plus confus dans ma tête ! elle est belle celle là je trouve lol
pour la limite je fais ex(x) ?


tu dois faire les deux en fait
pour appliquer le conseil de Z tu dois appliquer ce qu'a dit Jeet Chris
la dérivée de c'est donc donc en utilisant le conseil de Z maintenant la dérivée dec'est...

modifié par : miumiu, 12 Déc 2006 - 21:17
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Envoyé: 13.12.2006, 11:10

Voie lactée


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icon_biggrin (je dois avoir le sens comique qui se développe quand je fais des maths pour dire des trucs pareils lol)
enfin bref, alors après j'utilise ex + x*ex comme le u de u/v c'est ça ?
j'ai fait :
u = ex + x*ex
u' = ex + ex
v = ex + 1
v' = ex

ex + ex(ex + 1) - ex(ex+x*ex)
= ex + ex[(ex+1) - (ex + x*ex)]
=ex+ex[ex*x + 1]

mais là le ex*x me bloque un peu... c'est que je me suis trompée déjà plus haut ? je ne sais pas quoi faire après
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Envoyé: 13.12.2006, 11:18

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Maeva6
icon_biggrin (je dois avoir le sens comique qui se développe quand je fais des maths pour dire des trucs pareils lol)
enfin bref, alors après j'utilise ex + x*ex comme le u de u/v c'est ça ?
j'ai fait :
u = ex + x*ex
u' = ex + ex
v = ex + 1
v' = ex

ex + ex(ex + 1) - ex(ex+x*ex)
= ex + ex[(ex+1) - (ex + x*ex)]
=ex+ex[ex*x + 1]

mais là le ex*x me bloque un peu... c'est que je me suis trompée déjà plus haut ? je ne sais pas quoi faire après


tu t'emmèles les pinceaux à ce que je vois
on reprend calmement

et ce pour tout de R
pour calculer la dérivée

on utilise la formule

la dérivée de c'est

dans notre exemple




alors



donc
ok?! c'est plus clair??



modifié par : miumiu, 13 Déc 2006 - 11:20
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Envoyé: 13.12.2006, 12:42

Voie lactée


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ok merci, oui c'est plus clair maintenant, j'ai fait :
(ex+x*ex)*(ex+1)-ex(x*ex)
c'est ça ?
j'ai mis ex en facteur :
ex[(ex+x+1)-......
mais je ne sais pas quoi faire avec -ex(x*ex)
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Envoyé: 13.12.2006, 12:51

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Maeva6
ok merci, oui c'est plus clair maintenant, j'ai fait :


tu développes



et tu simplifies
ensuite tu regardes pour faire apparaitre



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Envoyé: 13.12.2006, 13:11

Voie lactée


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d'accord, alors est-ce que ça va si je fais :
ex(ex+1+x*ex +x*ex-x*ex)
et que je supprime +x*ex-x*ex ?
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Envoyé: 13.12.2006, 13:17

Cosmos
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Maeva6
d'accord, alors est-ce que ça va si je fais :
tu t'es trompée dans ta mise en facteur
ex(ex+1+x*ex +x-x*ex)


et que je supprime x*exet -x*ex
oui c'est bon mais tu aurais pu les supprimer avant mais bon oui ça va
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Envoyé: 13.12.2006, 13:30

Voie lactée


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ok merci infiniment !!
j'ai juste une dernière question pour la limite en + infini de :
(x*ex)/(ex+1)
comme Jeet-chris m'a dit de mettre ex(...) j'ai fait ex(x) et donc c'est égal à + l'infini, c'est juste ?
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Envoyé: 13.12.2006, 16:43

Cosmos
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oui en +∞ on a bien +∞ comme limite en factorisant par au numérateur et au dénominateur
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Envoyé: 14.12.2006, 11:39

Voie lactée


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ok merci beaucoup ! icon_smile
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Envoyé: 14.12.2006, 11:46

Cosmos
miumiu

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de rien :)
tu as réussi a tout faire c'est bon??!!
Top 
Envoyé: 14.12.2006, 11:48

Voie lactée


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pour cet exercice c'est bon icon_smile
mais là je suis en train d'écrire un nouveau topic parce que je suis bloquée à l'exercice d'après ...
Top 
Envoyé: 14.12.2006, 11:55

Cosmos
miumiu

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ok ;)
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Envoyé: 14.12.2006, 16:10

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montrer que f(α ) = α + 1 qui peux m'expliquer je n'y arrive pas. svp icon_confused icon_frown
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Envoyé: 14.12.2006, 17:37

Cosmos
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coucou !!!
bienvenue :):)
pour prouver que

tu peux claculer

et regarder le résultat ;)
tu mets au même dénominateur ...

noublie pas que
:)

Top 
Envoyé: 14.12.2006, 18:10

Une étoile
chantier

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merci de ton acceuil !

euh mais ca veut dire que je dois faire tout bêtement:

f(α ) - (α+1) = α+1 - (α+1) =0 ????? icon_confused

modifié par : chantier, 14 Déc 2006 - 18:15
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Envoyé: 14.12.2006, 18:36

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nan nan lol
dans l'expression de tu remplaces le par


ensuite tu mets
fais


tu trouves 0 donc


ok?!
:)
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Envoyé: 14.12.2006, 18:42

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chantier

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oui j'avais déjà fais ca mais je trouve jamais 0
je viens de refaire le calcul je trouve:

(-α/(e^α+1))-1

icon_frown ça fait un moment que je suis dessus icon_mad

modifié par : chantier, 14 Déc 2006 - 18:42
Top 
Envoyé: 14.12.2006, 18:51

Cosmos
miumiu

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donc on a








or

donc
...
;)


Top 
Envoyé: 14.12.2006, 18:52

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chantier

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icon_wink trop fort grnd merci !!!!! j'aurais une autre petite question toute simple si ca te derrange pas

modifié par : chantier, 14 Déc 2006 - 18:55
Top 
Envoyé: 14.12.2006, 18:53

Cosmos
miumiu

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regarde j'ai répondu ;)
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Envoyé: 14.12.2006, 19:04

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chantier

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pour ce que tu as dit comme α+(e^α )^+1=0 donc -α-(e^α )-1=0 donc:
0/e^α=0 c'est bien ca? mais quand il demande de calculer f(α ) a 10^-2 il demande de calculer quoi?

et mon autre question toute simple comment demontrer que g(x) a qu'une seule et unique solution?
Top 
Envoyé: 14.12.2006, 19:36

Cosmos
miumiu

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oui c'est bon
et bien nous n'avons pas le début de l'exercice Maeva nous a dit qu'elle avait trouvé un encadrement pour donc pareil il suffit de rajouter 1 aux deux valeurs qui encadrent et c'est bon
pour prouver qu'il n'y a qu'une solution il faut utiliser le théorème de la bijection ...
ok?!
Top 
Envoyé: 14.12.2006, 19:46

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chantier

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je veux bien que tu me montres comment tu fais le theroeme de bijection si tu veux bien icon_smile
Top 
Envoyé: 14.12.2006, 20:01

Cosmos
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oui je veux bien te montrer mdr
alors déjà j'espère que tu as déjà vu ce terme au moins une fois dans ta vie hein?! peut être que tu connais le théorème de valeurs intermédiaires sinon ... c'est la même chose (le théorème de la bijection est un cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires)
et ce pour tout de R
est la somme de fonctions dérivables sur R donc g est dérivable sur R

toujours positif
donc g est strictment croissante sur R
la limite de en -∞ c'est -∞ et en +∞ c'est +∞
est continue et strictement croissante sur R
elle admet une bijection de R sur R qui contient 0 donc l'équation
admet une solution unique notée

ensuite tu regardes (en gros) sur le graph de ta claculette pour quelle valeur tu as et tu utilises la fonction TABLE pour avoir l'encadrement

bon alors j'ai donné toute la rédaction parce que je ne sais pas si tu l'as déjà vu ou non
si c'est le cas et bien tant mieux pour toi lol mais j'ai fait exprès d'aller vite sur les limites pour que tu cherches un peu quand même ;)

si tu n'as pas du tout vu cette rédaction dis le moi et dis moi aussi si tu connais le théorème des valeurs intermédaires
Top 
Envoyé: 14.12.2006, 20:09

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chantier

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oui j'ai déja vu tout ca, mais j'ai de grosse lacune des que l'on parle de bijection injection surection icon_frown je comprend jamais mais la c'est clair, théoreme des valeurs intermediaires ca me dit rien, je regarde sur wikipedia se qu'il dit,
en tout cas merci pour toute cette redaction c'est super !!!!
Top 
Envoyé: 14.12.2006, 20:15

Cosmos
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de rien ;)
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Envoyé: 14.12.2006, 20:35

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re bonjour, j'ai juste une dernière question à propos de la limite, comment écrire au propre tout ça ? j'écris que (x.ex)/ex+1 = ex(x) et que au final lim de ex = + ∞ et lim de x = +∞
c'est suffisant ?
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Envoyé: 14.12.2006, 20:46

Cosmos
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icon_eek
lol
nop









j'ai divisé le numérateur et le dénominateur par

or
et


donc

modifié par : miumiu, 14 Déc 2006 - 20:48
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Envoyé: 14.12.2006, 20:52

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oula c'est vrai maintenant que je le vois je comprends mieux... hé oui c'est vrai puisqu'on doit mettre ex en facteur il faut modifier en conséquence... mais c'est bon cette fois j'ai compris pour du bon ! merci pour votre aide !
Top 
Envoyé: 14.12.2006, 20:55

Cosmos
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:) de rien reviens quand tu veux ;)
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Envoyé: 14.12.2006, 21:08

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chantier

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je n'arrive toujours pas a trouver un résultat???

il faut ensuite montrer que f(α ) = α + 1 . En déduire un encadrement de f(α ) à 10-2 près

je ne vois pas l'opération a faire?







modifié par : chantier, 14 Déc 2006 - 21:17
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Envoyé: 14.12.2006, 21:15

Cosmos
miumiu

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attends mais je croyais t'avoir répondu nan tu ne comprends pas quoi??
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Envoyé: 14.12.2006, 21:22

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chantier

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oui la c la derniere question pour f(x) . Tu m'as aidé a montré que f(a)=a+1 mais comment faire pour trouver une valeur a 10-2 pres ???
tout a l'heure tu m'as montre g(a) a 10-2 pres
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