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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
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Sommes/suites/polynomes

  - catégorie non trouvée dans : 1ère
Envoyé: 01.12.2006, 23:26

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Salut voila j'ai un problème pour faire un exo....merci d'avence

I - Il s'agit de trouver une formule donnant la somme des n entiers naturels non nuls de 1 à n.
On note S(n)=1+2+3+...+(n-1)+(n-2)+n
On écrit cette somme S(n) = ∑k
1: Démontrer qu'il existe un unique polynome P de degré 2 vérifiant :
->pour tout x, P(x+1)-P(x)=x
->P(1)=0
2:a.justifier que S(n)=P(n+1)-p(1), ou P est le polynome trouvée à la question 1.
b. en déduire la formule ∑k=(n(n+1))/2
II- Il s'agit de démontrer la propriété :
Pour tout entier n : 1^3+2^3+...+(n-1)^3+n^3=(1+2+...+(n-1)+n)² , soit avec la notation précédente ∑k^3=(∑k)²

1:.P étant le polynome de la première partie, on pose Q(x)=P(x)²
a.calculer Q(x)
b.Vérifier que pour tout x on a Q(x+1)-Q(x)=x^3
2:a.vérifier que ∑k^3=Q(n+1)-Q(1)
b. en déduire la propriété demandée.

Merci et si possible j'aimerai avoir des petites explication pask j'ai pas pigé du tou...:(
bonne soirée
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Envoyé: 02.12.2006, 01:00

Voie lactée


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Bonsoir
Exo 1 cf luluce41 post ds 1ere S dm trés urgent...
Exo 2 tu devrais y arriver si tu as compris le 1 ...tu passera montrer ce que tu as fait deja
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Envoyé: 02.12.2006, 09:52

Cosmos
miumiu

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coucou
mdr
J'adore comme ça on peut savoir qui sont les élèves dans les mêmes classes ;)
http://www.mathforu.com/sujet-4489.html
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Envoyé: 02.12.2006, 12:00

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salut !
je trouve pour la question 1 :
p(x+1)-p(x)=2ax+a+b=x
je trouve a= 1/2
b=-1/2
c=0
donc p(x)=1/2x²-1/2x

question 2.a. :
je trouve s(n)= (1/2)n²+(1/2)n donc j'en conclu la formule de la question 2.b.

c'est OK ???
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Envoyé: 02.12.2006, 13:01

Cosmos
miumiu

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ok pour ton polynôme par contre je ne comprends pas ta justification pour la 2a/
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Envoyé: 02.12.2006, 13:24

Cosmos
miumiu

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Il faut faire une petite récurrence
démontrons par récurrence la propriété

initialisation





donc la propriété est vraie au rang 1

hérédité

supposons la propriété vraie au rang n alors

alors on remarque que
je t'ai lançé a toi maintenant
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Envoyé: 02.12.2006, 13:38

Cosmos
miumiu

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....

le but c'est de prouver que


donc

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Envoyé: 02.12.2006, 19:26

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Re jvoi apeupré ce que tu a fait mais moyen tu voi...tu pourrai me reespliquer parseque je compren pas a quoi sert ton raisonnement...:( merci
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Envoyé: 02.12.2006, 19:43

Cosmos
miumiu

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mdrrrrrrrrrr
lol
oui il faudrait écrire mieux parce que moi non plus je n'arrive pas à te comprendre
je veux prouver que



ok pour tout n ∈ensn

donc je fais une récurrence
en faisant une récurrence je montre que si la propriété est vraie pour un certain rang elle est vraie pour le rang suivant donc la propriété est vraie pour tout n
donc il faut prouver que

[/quote]
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Envoyé: 02.12.2006, 20:35

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Désoler pour l'abréger je vais faire un effort ;) alors :

S(1) = 1/2(1+1)² - 1/2(1+1) - 0 = 1 (ça sert à quoi de faire ça ? je ne vois pas l'intéret)

S(n+1) = P((n+1)+1) - P(1) = P(n+2) - 0 = 1/2(n+2)² - 1/2(n+2) - 0 = 1/2n² + 2n + 1/2

voilà mais j'ai pas vraiment l'impression d'avoir démontrer que S(n+1)=P(n+2)-P et encor moins d'avoir justifier l'égalité de la question.merci





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Envoyé: 02.12.2006, 20:37

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Pourquoi S(1) devrait être égal à 1 ? Parce que si j'ai bien compris si S(1)=1 la propriété est vérifiée au rang 1
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Envoyé: 02.12.2006, 20:39

Cosmos
miumiu

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tu as déja fais de la récurrence ou c'est la première fois juste pour savoir
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Envoyé: 02.12.2006, 20:40

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c'est ma 1ère fois...c'est pour ça que je galer un peu...
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Envoyé: 02.12.2006, 20:42

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pour l'info j'avais pas encore rencontrer ce mot en maths...
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Envoyé: 02.12.2006, 20:50

Cosmos
miumiu

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ah ok ba ça ne doit pas forcément être la bonne méthode dans ce cas
j'en cherche une autre mais dans le même style ...
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Envoyé: 02.12.2006, 20:53

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Je te remercie pour ta patience c'est vraiment jentil de m'aider sans me donner les réponses...ouais car j'aime pas du tout quand on me crache la correction toute faite parce que après si on tombe sur un exo de ce type au Devoir bah ''BAM'' on se tape une sale note ! aller merci à taleur ! ^^
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Envoyé: 02.12.2006, 21:16

Cosmos
miumiu

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oui
alors
Z m'a fait part qu'il avait déjà traité ça dans un autre post
je te donne le lien
Z est prof donc c'est forcément bien expliquer icon_biggrin
http://www.mathforu.com/sujet-3779.html
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Envoyé: 02.12.2006, 21:37

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bah c'est pas la meme chose apart pour le polynome de dergré 2 de ma question 1 mais pour le reste ca m'avance a rien.
tu pourrais me réexpliquer si ca ne te dérenge pas apré je dois y aller c'est pour ça jaimerai bien finir au moins mon exo.

a) Justifier que S(n) = P(n+1) - p(1), ou P est le polynome trouvée à la question précédente. J'avais trouver P(x) = (1/2)x²-(1/2)x.
b) En déduire la formulme ∑k = (n(n+1))/2
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Envoyé: 02.12.2006, 21:49

Cosmos
miumiu

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alors ba en fait
tu le fais et tu réfléchis après ok?!
tu écris les uns en dessous des autres



pour n allant de 0 à n
tu fais par exemple 0,1,2,et n
ensuite tu additionnes toutes les lignes
c'est magique
alors?!
Top 
Envoyé: 02.12.2006, 21:55

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c'est ok j'ai compris ! merci ;)
Top 
Envoyé: 02.12.2006, 21:55

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c'est ok j'ai compris ! merci ;)
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Envoyé: 02.12.2006, 21:58

Cosmos
miumiu

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vraiment ?
je vais tout de suite dire a Z que j'ai réussi a te faire comprendre en moins de 10 lignes mdr



modifié par : miumiu, 02 Déc 2006 - 22:01
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Envoyé: 07.12.2006, 11:08

Jly_6608

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Coucou !
Bon je n'ai pas vraiment l'habitude des forums alors je vais essayer de me débrouiller comme je peux lool

Est-ce que vous pouvez m'aider parce que la je suis en panique totale.. J'ai un DM à faire, en fait c'est 2 exos sur les polynômes..

1. Déterminer le polynôme P de degré 3 tel que pour tout réel x, P(x+1)-P(x)=x² et P(1)=0.

2. Démontrer que pour tout entier n>1, 1²+2²+…+n² = P(n+1).

3. En déduire que :
1²+2²+…+n² = (n(n+1)(2n+1)) / 6.

4. En déduire la somme des carrés :
a. 10 premiers entiers supérieurs ou égaux à 1 ;
b. 100 premiers entiers supérieurs ou égaux à 1.







.::₪ Jly® ₪::.
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Envoyé: 07.12.2006, 11:25

Cosmos
miumiu

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coucou
bienvenue :)
alors une partie de ce sujet a été traitée
ici
http://www.mathforu.com/sujet-4487.html
et là

http://www.mathforu.com/sujet-4489.html
normalement tu as toutes tes réponses
voilà
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Envoyé: 07.12.2006, 11:26

Cosmos
miumiu

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dis nous où tu bloques précisément en fait parce que là c'est très vague ... montre nous ce que tu as trouvé ;)
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Envoyé: 07.12.2006, 11:38

Jly_6608

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dernière visite: 08.12.06
Merci :)
Alors en fait, je n'arrive même pas à démarrer.. Parce que je ne sais pas ce qu'il faut obtenir donc.. en demandant à une amie, elle m'a aidé et on a trouvé ca mais je ne sais pas si c'est bon..

P(x+1) - P(x) = x² et P(1)=0
Comme on veut un polynôme de degré 3, ca nous donne
ax³+bx²+cx+d ?
et après elle a écrit :
a(x+1)³+b(x+1)²+c(x+1)+d-

Ensuite, elle a développé et a obtenu :
a(3x²+bx+1)+b(2x+1)-x²=0

ensuite, on sait que : a(1)³+b(1)²+c(1)+d=0
soit a+b+c+d=0

et après ???? mci d'avance icon_razz


.::₪ Jly® ₪::.
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Envoyé: 07.12.2006, 11:54

Cosmos
miumiu

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ok
Jly_6608
Merci :)
Alors en fait, je n'arrive même pas à démarrer.. Parce que je ne sais pas ce qu'il faut obtenir donc.. en demandant à une amie, elle m'a aidé et on a trouvé ca mais je ne sais pas si c'est bon..

P(x+1) - P(x) = x² et P(1)=0
Comme on veut un polynôme de degré 3, ca nous donne
ax³+bx²+cx+d ça c'est P(x)
et après elle a écrit :
a(x+1)³+b(x+1)²+c(x+1)+d ça c'est P(x+1) il faut développer tu obtients des x3...etc

donc P(x+1)-P(x)=a(x+1)³+b(x+1)²+c(x+1)+d-(ax³+bx²+cx+d)

soit P(x+1)-P(x)= ...x3+....etc

ensuite tu poses P(x+1)-P(x)= x² donc ...x3+....=x² et tu fais une identification

il faut prendre la même méthode que j'avais fait avec luluce il suffit juste d'adapter un peu
regarde surtout ça http://www.mathforu.com/sujet-4489.html#bottom
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Envoyé: 07.12.2006, 12:07

Jly_6608

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dernière visite: 08.12.06
ok mais le prob c'est que même en développant, on ne trouve pas de x³ puisqu'ils s'annulent.. Je vais écrire tout le développement ici pour voir s'il est bon..

a(x³+3x²+3x+1)+b(x²+2x+1)+c(x+1)+d-ax³-bx²-cx-d=x²
ax³+3ax²+3ax+a+bx²+b2x+b+cx+c+d-ax³-bx²-cx-d=x²
a3x²+3ax+a+2bx+b=x²
a(3x²+3x+1)+b(2x+1)=x²
a(3x²+3x+1)+b(2x+1)-x²=0

voila.. il n'y a pas de x³ icon_confused



.::₪ Jly® ₪::.
Top 
Envoyé: 08.12.2006, 01:06

Modérateur


enregistré depuis: juin. 2005
Messages: 1469

Status: hors ligne
dernière visite: 24.02.13
Salut.

Tu as un c qui a disparu en cours de route: corrige l'oubli.

Ensuite, il faut que tu réduises ton expressions sous la forme:

(...)x³ + (...)x² + (...)x + (...) = 0

Comme 2 polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients... qu'en déduis-tu? ( c'est ce que miumiu appelait "identification" )

@+
Top 
Envoyé: 08.12.2006, 11:34

Cosmos
miumiu

enregistré depuis: mars. 2006
Messages: 3553

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dernière visite: 11.12.11
Jeet-chris
( c'est ce que miumiu appelait "identification" )


Ce n'est plus comme ça qu'on dit??
comme je suis trrrrrrrrrrrrès gentille je vais te donner un pur lien lol il y a la réponse ce n'était pas voulu mais bon j'espère que tu vas comprendre la methode...
http://www.webmaths.com/faq/index.php?sid=&lang=en&action=artikel&cat=377603&id=22&artlang=fr
++
Top 
Envoyé: 08.12.2006, 12:02

Jly_6608

enregistré depuis: déc.. 2006
Messages: 8

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dernière visite: 08.12.06
Hey ! Bon bah trop tard lool je l'ai rendu ce matin ! hihi on va bien voir.. J'vous tiens au courant de ma note si vous voulez !
En tout cas merci bcp !! Vous assurez :D


.::₪ Jly® ₪::.
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Envoyé: 08.12.2006, 15:03

Cosmos
miumiu

enregistré depuis: mars. 2006
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dernière visite: 11.12.11
lol oui icon_cool icon_cool
j'espère que t'as compris c'est le plus important comme ça pour le dst tu sauras faire ...
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