somme des entiers de 1 à n, polynome (ex-dm très urgent help me !!)

coucouc tt lmonde!!!jai un probleme sur un dm:

"il s'agit de t(rouver une formule donnant la somme des nombres des n entiers naturels non nuls de 1 a n.
on note S(n)=1+2+3.+.+.............+n-2+n-1+n
on écrit cette somme ∑ k=n (au dessu de ∑ ) k=1 (en dessou de ∑ ) k (a coté du tout!)

1- soit P(x) un polynome de degré 2. Démontrer qu'il existe un polynome unique vérifiant: pour tout x, P(x+1)-P(x)=x et P(1)=0.

2-Justifier que S(n)= P(n+1)-P(1)
en déduire la formule ∑ k=n (au dessu de ∑ ) k=1 (en dessou de ∑ ) k (a coté ∑ ) = ( n(n+1) )/2 "

jai essayé mais je n'y arrive pas c'est trop dur le prof ne nous a rien expliqué on a pas du tout vu avec ∑ donc ça seré sympa de m'aider svp merci :rolling_eyes:

bonjour et bienvenue sur le forum
je vais modifier ton post pour qu'il soit plus lisible

luluce41
coucouc tout le monde!!!j'ai un problème sur un dm:

"il s'agit de trouver une formule donnant la somme des nombres des n entiers naturels non nuls de 1 a n.

on note $s_n=1+2+3+4+.............+n-2+n-1+n$

on écrit cette somme $∑p=1nk\sum_{p=1}^{n} {k}$

1- soit P(x) un polynome de degré 2. Démontrer qu'il existe un polynome unique vérifiant:

pour tout $x$ , $p (x + 1) - p (x) = x$ et $p (1) = 0 .$

2-Justifier que $s_n= p(n+1)-p(1)$

en déduire la formule $∑p=1nk\sum_{p=1}^{n} {k}$ = $n(n+1)2\frac {n(n+1) }{2}$

j'ai essayé mais je n'y arrive pas c'est trop dur le prof ne nous a rien expliqué on n'a pas du tout vu avec ∑ donc ça serai sympa de m'aider s'il vous plait merci :rolling_eyes:

alors maintenant pour l'aide
tu poses $p(x)=ax^2 + bx + c$

et tu calcules $p (x + 1) - p (x)$
tu poses $p (x + 1) - p (x) = x$ et tu trouves $a, b$ et $c$ en t'aidant de l'indication $p (1) = 0 .$

merci c genti de mavoir aidé si vite et de mavoir refai mon sujet parce que le mien étai pa tres compréhensible!mai je compren pas il faut que je fasse (x-1)-(ax²+bx+c) parce que ça me donne ax³+ (b+a)x² + (c+b)x + c et maintenan je fait comment pour trouver a,b et c?parce que j'ai pas de polinome pour les comparer et trouver ces nombres. jsuis désolé de pas tout comprendre!merci d'avance biz

Tu dois faire une erreur normalement tu reste au second degrés ( pas de terme en $x^3$ )
$P(x+1)=a(x+1)^2$ +b(x+1)+c

je compren pa comen tu trouve ce résultat. comen on calcule p(x+1) au débu??

tu poses
$p(x) = ax^2 + bx + c$

tu remplaces le $x$ par $x + 1$
tu fais la différence ensuite

merci jsuis vraiment désolée c'était bête en plus j'avais pas fait attention désolé vraiment merc i encore biz

de rien maintenant tu peux nous dire ce que tu trouves?

ba je trouve un truqu'est pas logique quand je dévellope pour P(x+1) je trouve ax²-2ax+a+bx+b+c

et quand je soustrait p(x) ça me donne -2ax+a+b
alors quil faut que je trouve x
pourquoi je trouve ça?

Attention aux signes
$x+1)^2$ = $x^2$ +2x+1
Tu devrais arriver a : 2ax+a+b

Ensuite tu obtient x = polynome
Tu identifi les coefficients de $x^2$ de x et les constantes
Tu trouve ainsi a, b et c (avec P(1) = 0)

re on récapitule

on pose $p(x) = ax^2+bx+c$

donc $p(x+1) = a(x+1)^2+b(x+1)+c$

alors $p(x+1)-p(x)= a(x+1)^2+b(x+1)+c- (ax^2+bx+c)$

$p(x+1)-p(x)=ax^2+2ax+a +bx+b+c-ax^2-bx-c$

$p (x + 1) - p (x) = 2 a x + a + b$

on pose $p (x + 1) - p (x) = x$

donc $2 a x + a + b = x$
on identifie
$2 a = . . .$

et $a + b = . . .$

donc $a = . . .$

et $b = . . .$

alors $p (x) = . . .$