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croissance et convergente |
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couli
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Envoyé: 21.11.2006, 17:59
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Une étoile
enregistré depuis: sep. 2006
Messages: 17
Status: hors ligne
dernière visite: 23.11.06
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bonjour , j'ai beaucoup de mal à faire cet exercice auquel je n'ai fait aucune question.
on considère une suite Un positive et une suite Vn=Un/(1+Un)
les proposition s sont elles vraie ou fausses? justifier
1) pout tout n , 0≤Vn≤1
2) si la suite Un est convergente , alors la suite Vn est convergente
3) si la suite Un est croissante alors la suite Vn est croissante
4) si la suite Vn est convergente , alors la suite Un est convergente
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Zauctore
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Envoyé: 21.11.2006, 18:19
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Cosmos
enregistré depuis: aoû. 2005
Messages: 3314
Status: hors ligne
dernière visite: 16.05.08
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indications
pour 1)
les inégalités  et  sont claires.
donc, le rapport  ...
pour 2)
la fonction  est continue sur  +
donc  = f(\ell)) , où  est la limite des  .
modifié par : Zauctore, 21 Nov 2006 - 18:20
Z, auctore.
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couli
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Envoyé: 23.11.2006, 08:36
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Une étoile
enregistré depuis: sep. 2006
Messages: 17
Status: hors ligne
dernière visite: 23.11.06
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1) j'ai considéré une fonction telle que f(x)x/(1+x) ou f(Un)=Un/(1+Un)
j'ai vu que la fonction ne pouvait pas avoit la valeur 1 pour f. j'ai étudié les limites en 0 et en 1. lim x→0 :f(x)=0 et lim x→+∞ :f(x)=1. donc les signes ≤ et ≤ rendent la proposition fausse puisque f n'atteint ni 1 ni 0.
2) si Un converge donc lim Un=l donc lim 1Un=1+l donc lim Vn =l/(1+l) donc Vn converge également vers cette limite. La proposition semble vraie.
3) si la suite Un est croissante , Un croit mais 1+Un croit plus vite car Un+1>Un donc Vn est croissante. la propositon est vraie.
4)si la suite Vn est convergente alors Vn est majorée et croissante doonc lim Vn=l
donc f(Un)=l
donc Un/(1+Un)=l
ce qui donne Un=l/(1-l) pour l différent de 1
donc Un est majorée par ce nombre.
Or pour différentes valeurs de l qui augmente : Un décroit. Dans ce cas Un ne peut pas converger , donc la proposition est fausse.
ptit couli
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