Union de courbes (Ancien nom: exponentielle)

Bonjour tout le monde,
Voici un petit exo qui me pose probleme :
H d'eqution y²-x²=16

1)Montrez que H est la réunion de deux courbes C et C' où C est la courbe représentative de la fonction f définie sur R par :
f(x)= √(x²+16)
et où C' est l'image de C par une transformation simple que l'on présicera

2)Montrez que la droite d'equation y=x est une asymptote de C.

Pour le 1) H=C mais je voie pas la transformation pour C'

Pour le 2) je pensais faire la limite de f(x) quand x tend vers l'infinie et que le résultat donne x mais je ne trouve pas x.

Merci pour votre aide

Salut.

Non, H n'est pas C. H est la réunion de C et C'. As-tu trouvé les 2 fonctions dont les courbes sont C et C' avant d'essayer de chercher la transformation ?

Et rappelle-toi que si y²=u, alors y=±√(u).

Montre que la limite de f(x)-x est égale à 0 en +∞. Pour cela, essaie de trouver l'astuce(il faut factoriser d'une certaine manière sous la racine carrée).

@+

Désolé mais je voie pas, mais enfaite je comprend pas trop ce que sa veux dire que H est la reunion de C et C', ca veut dire que H est entre C et C'?
Pour le 2) je peu pas faire lim f(x) quand x tend vers +∞=+∞ de meme pour x et par différence = 0

Salut.

Tu penses que +∞-∞=0 ? Pourtant tu dois savoir que c'est une forme indéterminé.

$lim⁡x→+∞2x−x=(+∞)−(+∞)=+∞\lim_{x \to +\infty} 2x-x=(+\infty)-(+\infty)=+\infty$
$lim⁡x→+∞x−x=(+∞)−(+∞)=0\lim_{x \to +\infty} x-x=(+\infty)-(+\infty)=0$
$lim⁡x→+∞x−2x=(+∞)−(+∞)=−∞\lim_{x \to +\infty} x-2x=(+\infty)-(+\infty)=-\infty$

Ce n'est donc pas la bonne solution que tu as choisie.

Dire que H est la réunion des deux courbes veut dire que H contient les 2 courbes. Par exemple, dessine 3 segments comme si tu voulais faire un triangle. Alors le triangle est la réunion de ces trois segments. L'ensemble formé par la réunion de 2 bonbons et de 3 autres est l'ensemble formé par ces 5 bonbons.

Pour résoudre la question, il faut d'abord partir du fait que H est la représentation de y²=x²+16, et dire que cette équation est équivalente à un système de 2 équations. Ces 2 équations sont ? Quel est le rapport avec C et C' ?

@+

les 2 equations sont y=√(x²+16) et y=-√(x²+16)
donc C' doit etre compris entre ces deux équations.
Mais je trouve pas comment faire pour démontrer la transformation.

pour le 2) je vois pas du tout comment factorisé on peut faire
√[(x+4)²-8x]-x
mais sa donne rien.
et je voie pas d'autre factorisation possible a par en changeant de signe mais sa revien au même.
Aidé moi.
@+

je pense avoir trouvé pour le 1) et le 2)
1)Il y a une symétrie axiale d'axe O;u entrel y=√(x²+16) et y=-√(x²+16)
Donc on applique la transfomation par homothétie :
y $H(x_0$ )=4
-y $H(x_0$ )=-4

Donc C' $x_0$ )=[-4;4]
Alors
les systèmes
k√(0²+16)≤4
k√(0²+16)≥-4

4k≤4
4k≥-4

k≤1
k≥-1

la transformation est une homothétie de centre O(0;0) de rapport compris entre [1;-1]

Pour le 2)
lim (f(x)-x) =
x->+∞
lim (f(x)-x)² =
x->+∞
lim x² +16 - x²=
x->+∞
lim 16 =0
x->+∞

Est ce que c bon? mais démontration sont bonnes?

coucou je débarque dans l'exercice désolée
il y un petit truc qui me parait bizarre
dans l'énoncé on a

C' est la courbe représentative de la fonctionf* *
pour la question deux ils demandent

2)Montrez que la droite d'equation y=x est une asymptote de C.
donc pour moi il faut utiliser l'équation de la droite dont la représentation graphique est C donc g(x)= -√(x²+16) nan!?
mais C n'a pas d'asymptote d'équation y=x donc t'as dû oublié un prime quelque part...
bref
j'aime pas trop ta solution en tout cas
lim 16 =0 pas top du tout lol
x->+∞
utilise la quantité conjuguée si tu n'arrives pas a factoriser
$x2+16−x=(x2+16+x)(x2+16−x)x2+16+x\sqrt{x^2+16} - x = \frac { (\sqrt{x^2+16} + x )(\sqrt{x^2+16} - x)} { \sqrt{x^2+16} + x }$

j'avai fai une erreur dans l'ecriture de mon enoncé enfaite c'est C qui est la courbe représentative de la fonction f.
Oui tu as raison pour
lim 16 =16
x->+∞

Avec la quantité conjugué je peu mettre sa? :
$s q r t$ x²+16)-x = 16/( $s q r t$ x²+16)+x)

lim $s q r t$ x²+16) = +∞
x->+∞
lim x = +∞
x->+∞
par somme :
lim ( $s q r t$ x²+16)+x) = +∞

Donc par quotient :
lim 16/( $s q r t$ x²+16)+x)=0
x->+∞

bravo !!!!!
merci pour la correction de l'énoncé

Salut.

Pour l'histoire, je vais comme même détailler ma méthode, vu qu'une solution a déjà été proposée:

$lim⁡x→+∞x2+16−x=lim⁡x→+∞x2(1+16x2)−x=lim⁡x→+∞,x1+16x2−x\lim_{x \to +\infty}\sqrt{x^2+16}-x=\lim_{x \to +\infty}\sqrt{x^2(1+\frac{16}{x^2})}-x=\lim_{x \to +\infty} , x \sqrt{1+\frac{16}{x^2}}-x$

$lim⁡x→+∞1+16x2=1\text{or }\lim_{x \to +\infty} \sqrt{1+\frac{16}{x^2}}=1$

$\text{d'o\grave{u} }\lim_{x \to +\infty}\sqrt{x^2+16}-x=\lim_{x \to +\infty} , x-x=0$

@+

Merci beaucoup Jeet-chris et miumiu vous m'avez beaucoup aidé.