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Les nombres parfaits (pairs) : caractérisation

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
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Envoyé: 01.11.2006, 17:13

Cosmos
Bbygirl

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Salut tout le monde , voilà encore un exercice de spécialité qui me pose problème. L'énoncé est assez long mais j'en ai déjà fait une bonne partie.

PARTIE 1


Définition 1 : Soit n un entier naturel non nul, on note σ(n) la somme des diviseurs positifs de n.

Définition 2 : Un entier naturel non nul n est parfait si et seulement si σ(n) = 2n .

1) Les nombres 6, 28, 32 sont-ils parfaits ?
2) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Démontrer que :
a) Quel que soit n un entier strictement supérieur à 1 : σ(n) ≥n+1 .
b) n est premier si et seulement si σ(n) = n+1 .
c) σ(n) = 1 si et seulement si n = 1 .
3) Soient a et b deux entier naturels non nuls, démontrer que σ(a)σ(b) = σ(ab)

PARTIE 2


Soit p un nombre premier tel que 2p -1 soit premier . On note Ep = 2p-1(2p-1)

1) Calculer σ(2p-1) puis σ(2p-1).
2) Calculer σ(Ep), en déduire que Ep est un nombre parfait.

PARTIE 3


Dans cette partie, n désigne un nombre parfait pair : on notera n = 2ab, où b désigne un nombre impair.

1) Justifier que σ(n) = 2a+1b puis que 2a+1b = σ(b)(2a+1-1) .
2) Montrer que PGCD (2a+1-1 , 2a+1 ) = 1. En déduire que (2a+1-1) divise b. Par la suite nous noterons b = (2a+1-1)c.
3) Démontrer que :
a) σ(b) = 2a+1c
b) n = 2a(2a+1-1)c
c) σ(n) = 2a+1 (2a+1-1)c .
4) On suppose que c>1. Démontrer qu'alors σ(n) ≥ (2a+1-1)2a+1(1+c) . Ce résultat est il compatible avec celui obtenu au 3.c. ? En déduire que c=1.
5) En utilisant les questions précédentes et la partie 1, montrer que b est premier .

PARTIE 4


Enoncer la propriété démontrée dans les parties 2 et 3.



Voilà l'énoncé. Donc j'ai déjà répondu à toutes les questions des parties 1 et 2.

Ensuite pour la PARTIE 3 , j'ai justifié que σ(n) = 2a+1b mais pour la suite je suis bloquée.

MErci à tous ceux qui pourront m'aider icon_smile


Bel effort de présentation ; merci à toi Bbygirl ! (N.d.Z.)

modifié par : Zauctore, 03 Nov 2006 - 14:37
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Envoyé: 01.11.2006, 17:42

Cosmos
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Bon alors en fait j'ai trouvé la réponse à ma question (je crois que c'est le fait de poser le problème sur ce site qui donne la solution ...) donc je reviendrai poser une autre question plus tard.

icon_smile

modifié par : Zauctore, 03 Nov 2006 - 18:39
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Envoyé: 01.11.2006, 18:24

Cosmos
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Voilà je savais bien que j'allais avoir un problème. Mon problème est donc la question 4 de la partie 3. J'ai répondu aux 3 questions précédentes.

MErci de m'aider icon_smile
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Envoyé: 01.11.2006, 22:18

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juste comme ça, par pure curiosité... tu pourrais pas nous dire comment tu as répondu à la 3 de la partie 1, sans indication supplémentaire ?
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Envoyé: 02.11.2006, 00:25

Cosmos
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Si gentiment demandé je veux bien lol

Alors on suppose a ≥2 et b ≥2

On note a0, a1, .... ak les diviseurs positifs de a avec a0<a1<a2< ...<ak .
On note b0, b1, .... bl les diviseurs positifs de b avec b0< b1< ....< bl .

Sachant que a0=b0= 1 et que ak = a et bl = b,

σ(a) = a0 + a1 +a 2 + ... + ak .

et σ (b) = b0 + b1 + b2 + ... + bl .

σ(ab) = a0 + a1 +a 2 + ... + ak
+ a0b1 + a1b1 + ... + akb1
+ a0b2 + a1b2 + ... + akb2
.
.
.
+ a0bl + a1bl + ... + akbl

Donc σ(ab) = (a0 + a1 +a 2 + ... + ak)b0
+ (a0 + a1 +a 2 + ... + ak)b1
+ (a0 + a1 +a 2 + ... + ak)b2
.
.
.
+ (a0 + a1 +a 2 + ... + ak)bl

⇔ σ(ab) = (a0 + a1 +a 2 + ... + ak)(b0 + b1 + b2 + ... + bl)

Ainsi, σ(ab) = σ(a)σ(b)

Voilà pour la question 3 de la partie 1.
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Envoyé: 02.11.2006, 10:11

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Merci.

En gros, ce sur quoi repose ta preuve, lors du calcul de σ(ab), c'est le fait que, les diviseurs de a étant les ax et ceux de b étant les by, alors les diviseurs de ab sont les axby... mais est-ce toujours vrai ? au sens où : est-ce que cela donne exactement les diviseurs de ab, et pas un peu trop ?

Prends par exemple a = 4, b = 6 et ab = 24 et dressons les listes des diviseurs.

Pour 4 : 1 ; 2 ; 4.

Pour 6 : 1 ; 2 ; 3 ; 6.

Pour 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24.

parmi les diviseurs de 4 figure 2, comme parmi ceux de 6. En prenant les combinaisons des diviseurs de a et de b comme tu le suggères, on va récupérer 2×1 et 1×2, donc le nombre 2 sera compté une fois de trop. De même, avec 4, comme 4×1 et comme 2×2... d'ailleurs tu peux voir que σ(4) = 7, σ(6) = 12 et σ(24) = 60, ce qui montre que ton raisonnement ne s'applique certainement pas dans ce cas.

Sinon, j'ai un autre (contre-)exemple pour te montrer que l'énoncé de cette question comporte une erreur (disons un omission) : on peut voir que σ(2) = 3, σ(4) = 7 et σ(8) = 15. Ainsi, σ(2×4) ≠σ(2)×σ(4).

L'énoncé devrait demander que a et b soient premiers entre eux, ce qui rendrait correct ton argument, critiqué dans mon 1er paragraphe.

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Envoyé: 02.11.2006, 11:52

Cosmos
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ah d'accord ... alors il suffit que je dise au départ que a et b doivent être premiers entre eux? et pour les autres cas ? il se passe quoi? il n'y a pas de formule ?
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Envoyé: 02.11.2006, 11:55

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... sauf si tu en découvres une !

il faudra expliquer proprement pourquoi, lorsque a et b sont premiers entre eux, les diviseurs de ab sont exactement les axby, avec les notations précédentes.
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Envoyé: 02.11.2006, 12:08

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ah d'accord ... et comment on fait ca ?
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Envoyé: 02.11.2006, 12:13

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c'est une lourde responsabilité dont je te laisse la charge : sois créative comme tu l'as déjà été !
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Envoyé: 02.11.2006, 12:16

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j'ai même pas le droit à une piste?
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Envoyé: 02.11.2006, 12:20

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pense peut-être à la décomposition en produit de facteurs premiers, pour lister tous les diviseurs de ab ?
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Envoyé: 02.11.2006, 12:22

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Si a et b sont premiers entre eux alors leur pgcd est 1. mais après ?
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Envoyé: 02.11.2006, 12:23

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ca veut dire qu'ils n'ont aucun facteur premier en commun puisque 1 n'est pas premier ... ?
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Envoyé: 02.11.2006, 12:23

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oui, mais surtout : a et b n'ont AUCUN facteur premier commun.

(j'avais pas vu ta remarque ci-dessus)

modifié par : Zauctore, 03 Nov 2006 - 13:28
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Envoyé: 02.11.2006, 12:27

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oui je l'avais vu .. mais qu'est ce que ca fait qu'ils n'aient aucun facteur premier en commun ?
je ne vois pas trop à quoi ca sert
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Envoyé: 02.11.2006, 12:34

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I. le problème du facteur commun, c'est justement de faire compter certains diviseurs en double... parce que 1 figure toujours dans l'autre liste de diviseurs.

II. commençons par voir ce que ça donne pour un produit pq de deux nombres premiers...

modifié par : Zauctore, 02 Nov 2006 - 12:51
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Envoyé: 02.11.2006, 12:44

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d'accord je vais chercher dans ce sens là...
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Envoyé: 02.11.2006, 13:51

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Pour ta question 4, sinon... sachant que n = 2a(2a+1-1)c et c > 1 : cela veut dire que c est un diviseur de n.

Peut-être qu'une "habile" façon de lister quelques diviseurs distincts de n donnera cette minoration de σ(n). En effet, si on est sûr que u, v w sont des diviseurs différents de n, alors on aura certainement σ(n) ≥ u + v + w.

Je t'avoue que pour l'instant je sèche, notamment à cause du facteur 2a+1 demandé dans le minorant.
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Envoyé: 02.11.2006, 14:22

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okay merci. je vais d'abord essayer de résoudre le problème de la question 3 de la partie 1 avant de m'attaquer à autre chose. mais pour l'instant je ne trouve rien .
Top 
Envoyé: 02.11.2006, 14:30

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La méthode ressemble bcp : les diviseurs de p sont 1 et p ; ceux de q sont 1 et q. Quels sont les diviseurs de pq ? Compare alors σ(p), σ(q) et σ(pq).
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Envoyé: 02.11.2006, 14:34

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je l'ai fait cet exemple et ca marche bien car :

σ(p) = 1 + p
σ(q) = 1 + q
σ(pq) = 1 + p + q + pq

et dans ce cas on a bien σ(pq) = σ(p)σ(q)

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Envoyé: 02.11.2006, 14:44

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oui ; donc pour deux nombres premiers, la formule fonctionne.

maintenant, considère peut-être a = p1e1p2e2...prer et b = q1f1q2f2...qrfs

avec les nombres premiers pi tous distincts des nombres premiers qj, pour que a et b soient premiers entre eux.
Top 
Envoyé: 02.11.2006, 14:50

Cosmos
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dans ce cas là la démonstration que j'avais faite au début marche .

Si on prend les ai différents des bj :

Citation
Alors on suppose a ≥2 et b ≥2

On note a0, a1, .... ak les diviseurs positifs de a avec a0<a1<a2< ... On note b0, b1, .... bl les diviseurs positifs de b avec b0< b1< ....< bl .

Sachant que a0=b0= 1 et que ak = a et bl = b,

σ(a) = a0 + a1 +a 2 + ... + ak .

et σ (b) = b0 + b1 + b2 + ... + bl .

σ(ab) = a0 + a1 +a 2 + ... + ak
+ a0b1 + a1b1 + ... + akb1
+ a0b2 + a1b2 + ... + akb2
.
.
.
+ a0bl + a1bl + ... + akbl

Donc σ(ab) = (a0 + a1 +a 2 + ... + ak)b0
+ (a0 + a1 +a 2 + ... + ak)b1
+ (a0 + a1 +a 2 + ... + ak)b2
.
.
.
+ (a0 + a1 +a 2 + ... + ak)bl

⇔ σ(ab) = (a0 + a1 +a 2 + ... + ak)(b0 + b1 + b2 + ... + bl)

Ainsi, σ(ab) = σ(a)σ(b)


ca marche bien non ?
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Envoyé: 02.11.2006, 23:07

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oui, à condition d'expliquer pourquoi on obtient ainsi exactement tous les diviseurs de ab, sans en compter en trop... comme je te l'ai déjà dit !
Top 
Envoyé: 03.11.2006, 12:17

Cosmos
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oui je suis d'accord mais comment on dit ca ? On doit dire que puisque a et b sont premiers entre eux alors ils n'ont aucun facteur premier en commun et donc les facteurs ne sont pas en double?
je ne sais pas comment ca s'explique ...
Top 
Envoyé: 03.11.2006, 13:01

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Supposons a et b premiers entre eux ; soit p un diviseur premier de ab ; alors p divise a ou p divise b, non ? maintenant soit d un diviseur quelconque de ab ; alors d= pq...r en produit de facteurs premiers. Mais nécessairement, chaque p, q, ... ou r divise a ou b exclusivement. Donc d est de façon générale obtenu en multipliant les diviseurs de a par ceux de b, qui sont distincts et ne généreront pas de "doublon".

Je sais pas si je suis clair, ni convaincant !
Top 
Envoyé: 03.11.2006, 13:30

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si si c'est très clair. mais ai je le droit d'écrire ca dans une copie?
Top 
Envoyé: 03.11.2006, 13:46

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That's the question... en fait le problème est à la base dans l'énoncé lui-même : la propriété demandée à la question 3 de la partie 1 est fausse. Tu as compris le problème (a et b doivent être premiers entre eux), ne passe peut-être pas trente lignes là-dessus.

Je suis toujours gêné avec le facteur 2a+1 dans la question 4 de la partie 3, là où on attend une minoration de σ(n).
Top 
Envoyé: 03.11.2006, 16:12

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D'accord. Alors je vais laisser un blanc pour cette question et lundi j'irai voir mon prof de maths pour lui demander s'il a commis une erreur dans l'énoncé.
En attendant je vais continuer de chercher cette question 4 de la partie 3 ...
Top 
Envoyé: 06.11.2006, 18:28

Cosmos
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Salut. Alors je suis allée voir mon prof de maths et c'était une erreur de sa part. donc il fallait faire la démonstration pour des a et b premiers entre eux ce qui est logique par rapport à la suite de l'exercice en fait ...
Sinon pour la question 4 je ne trouve toujours pas ..

Voilà icon_smile
Top 
Envoyé: 08.11.2006, 00:04

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Bon alors je crois que je tiens quelque chose pour cette question 4 : si 1<c, alors le nombre n = 2a(2a+1-1)c possède comme diviseurs

- d'une part 1, 2, ... , 2a dont la somme est 2a+1-1 ;

- d'autre part 1, 2, ... , 2a tous multipliés par (2a+1-1), dont la somme est (2a+1-1)(2a+1-1) ;

alors, ces diviseurs ont pour somme 2a+1-1 + (2a+1-1)(2a+1-1) = 2a+1(2a+1-1) ;

-et enfin les mêmes que ci-dessus, à savoir 1, 2, ... , 2a, et 1, 2, ... , 2a tous multipliés par (2a+1-1), tous multipliés par c, dont la somme est 2a+1(2a+1-1)c

Au final, ces diviseurs ont une somme égale à 2a+1(2a+1-1)c + 2a+1(2a+1-1) = 2a+1(2a+1-1)(1 + c).

Ainsi, la somme de tous les diviseurs de n est au moins égale à ce nombre, d'où finalement
σ(n) ≥ 2a+1(2a+1-1)(1 + c)

Il y a un petit défaut dans tout ça : c'est dans le fait que l'on ne justifie pas que les diviseurs listés plus haut sont bien tous différents, ce qui garantirait l'inégalité finale...

modifié par : Zauctore, 08 Nov 2006 - 13:43
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Envoyé: 08.11.2006, 13:37

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Pour préciser ma dernière remarque, il s'agit de se convaincre que la liste suivante ne contient pas de répétition :

1, 2, ..., 2a, 1(2a+1-1), 2(2a+1-1), ..., 2a(2a+1-1), 1c, 2c, ..., 2ac, 1c(2a+1-1), 2c(2a+1-1), ..., 2ac(2a+1-1).


modifié par : Zauctore, 08 Nov 2006 - 13:45
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Envoyé: 08.11.2006, 16:17

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merci. En fait c'est ce que j'ai trouvé hier avec une amie en utilisant les démonstrations sur les nombres parfaits faites dans la partie 2. Je vais enfin pouvoir terminer mon devoir icon_smile
Top 
Envoyé: 08.11.2006, 18:04

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J'ai encore 2 dernières questions. Comment montre-t-on ensuite que b est premier ?
Et en conclusion je dois énoncer la propriété démontrée dans les parties 2 et 3 mais je n'arrive pas bien à la cerner.

Merci d'avance
Top 
Envoyé: 08.11.2006, 19:16

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Zauctore

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D'après 1. 2 b), il suffit de montrer que σ(b) = b+1.
Top 
Envoyé: 08.11.2006, 19:37

Cosmos
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le problème c'est que b= (2a+1-1)c et que b+1 est différent de sigma(b)= 2a+1c
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Envoyé: 08.11.2006, 19:39

Cosmos
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ah mais non c'est bon parce que c = 1. j'étais passée au dessus .
Et sinon pour la propriété énoncée ... ?
Top 
Envoyé: 08.11.2006, 19:50

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Alors... la partie 2 donne une condition suffisante pour qu'un nombre (pair) soit parfait : si ... et ..., alors le nombre ... est parfait.

La partie 3 donne une condition nécessaire, réciproque de la précédente : si un nombre pair est parfait, alors ce nombre est de la forme ... avec ...
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Envoyé: 08.11.2006, 19:58

Cosmos
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Si p est un nombre premier tel que 2p-1 soit premier et Ep= 2p-1(2p-1), alors le nombre Ep est parfait.
Si un nombre pair est parfait, alors ce nombre est de la forme 2ab avec b qui désigne un nombre impair.

Est ce ca ? Et doit-on ne faire qu'une phrase pour énoncer la propriété ?
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