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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
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Démontrer avec les vecteurs.Droite d'Euler.

- classé dans : Vecteurs & droites

Envoyé: 18.10.2006, 17:37

Constellation
bubulle54

enregistré depuis: sept.. 2006
Messages: 53

Status: hors ligne
dernière visite: 04.04.07
J'ai une activitée à faire en dm et je n'ai pas très bien saisi quelques points. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait??
Voici mon sujet:
ABC est un triangle, O est le centre de son cerlce circonscrit Γ et G sont centre de gravité. A', B', C' désignent les milieux respectifs de [BC], [CA], [AB].

I.Caractérisation vectorielle de l'orthocentre
On note H le point défini par OH = OA + OB + OC [1]( en vecteur car je ne sais pas comment il faut faire avec la flêche des vecteurs dans les smilies mathématiques)
Le but de cette partie esy de démontrer que H est l'orthocentre du triangle ABC.
1.a) Prouver à partir de [1] que AH = 2OA' (en vecteur).
b) Démontrer que (AH) est perpendiculaire à (BC).
2. Démontrez que (BH) est perpendiculaire à (AC).Concluez.

II.Droite d'Euler
1. Prouver que OH = 3OG [2] (en vecteur)
2.a) Examinons la question de savoir si O, G, H peuvent être confondus.
En utilisant [2], prouvez que si deux d'entre ces points le sont, alors le troisième est confondu avec eux. Déduise-en que ABC est 2quilatéral.
b) Réciproquement, si ABC est équilatéral, vérifiez que O, G et H sont confondus.
c) Que dire des point distincts O, G et H lorsque ABC est non équilatéral?

Pour la première partie j'ai trouvée pas mal de chose:
Pour la première question j'ai fais ceci:
OB = OA' + A'B et OC = OA' + A'C (d'après la relation de Chasles, en vecteur)
Donc OB + OC = OA' + A'B + OA' + A'B (en vecteur)
Or, A'B + A'C = O vecteur nul(en vecteur)
Donc OB + OC = 2 OA' (en vecteur)

OH = OA + OB + OC et OB + OC = 2 OA' (en vecteur)
Donc OH = OA + 2OA' (en vecteur)
J'ajoute AO(en vecteur) au deux membres:
AO + OH = 2OA' (en vecteur)
AH = 2OA' (en vecteur)

Pour la question 1.b):
Le vecteur AH colinéaire à OA' qui est un vecteur directeur de la médiatrice de [BC].
On en deduit que (AH) est parallèle à (OA') et perpendiculaire à (BC).

Pour la question 2 je ne sais pas comment il faut que je démontre. Et comment je dois conclure.

Pour la deuxième partie je n'ai réussis qu'à faire la première question:
j'ai fais cela:
AG = 2/3AA' (en vecteur)
Donc GA = 2A'G (en vecteur)
GA = -2GA' (en vecteur)
Equivaut à GO + OA = -2(GO + OA') (en vecteur)
3OG = OA + 2OA' (en vecteur)
Or, OA + 2OA' = OH (en vecteur)
Donc OH = 3OG (en vecteur)
Je pense ne pas avoir fais de faute en faisant les relations.
Sinon pour le reste je ne sais pas du tout comment il faut faire.
Voilà j'espere que vous allez pouvoir m'aider.

bubulle





modifié par : Zorro, 19 Oct 2006 - 15:05
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Envoyé: 18.10.2006, 23:39

Cosmos
Zorro

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 9374

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dernière visite: 10.01.16
Bonjour,

Je suis désolée mais je n'ai pas tout lu ce que tu as écrit (je sais, ce n'est pas bien du tout) mais ce sujet est un grand classique qui est traité sur des tas de sites et des tas de forums que tu peux trouver avec un bon moteur de recherche en utilisant par exemple :

droite euler vecteur

ou seulement

droite euler

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Envoyé: 19.10.2006, 13:00

Constellation
bubulle54

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Messages: 53

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dernière visite: 04.04.07
Bonjour,
je sais que ce sujet est un grand classique mais le problème est que je n'ai pas trouver quelque chose qui pourrait m'aider pour ma deuxième partie c'est pour cela que je l'ai marquée ici.
Merci quand même.
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Envoyé: 19.10.2006, 13:21

Cosmos
Zorro

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 9374

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dernière visite: 10.01.16
Pour I - 2) je pense qu'une démonstration du même genre que I 1) a) et b) doit pouvoir te permettre de conclure

Pour montrer que (AH) est perpendiculaire à (BC), on t'a fait montrer que AH = 2 OA'

Pour montrer que (BH) est perpendiculaire à (AC), essaye de faire un truc dans le même genre avec BH = 2 O??

modifié par : Zorro, 19 Oct 2006 - 15:06
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Envoyé: 19.10.2006, 13:28

Cosmos
Zorro

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 9374

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dernière visite: 10.01.16
Le début du II est juste.
Pour le 2)a)

Si H et O sont confondus alors OH = vecteur nul donc [2] ⇒ OG = vecteur nul donc O et G sont ????
Si G et O sont confondus alors OG = vecteur nul donc [2] ⇒ OH = vecteur nul donc O et G sont ????

Pour le 2)b)

Utilise le fait que dans un triangle équilatéral les hauteurs, médiatrices et médianes sont ?????

modifié par : Zorro, 19 Oct 2006 - 13:39
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Envoyé: 21.10.2006, 15:11

Constellation
bubulle54

enregistré depuis: sept.. 2006
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dernière visite: 04.04.07
Bonjour,
merci zorro de m'avoir mise sur la piste.
Pour la question 2 j'ai trouver BH = 2OB' (en vecteur)
Pour la deuxième partie, Si H et O sont confondus alors OH = vecteur nul donc 3OG = vecteur nul donc O et G sont confondus.
Si G et O sont confondus alors 3OG = vecteur nul donc OH = vecteur nul donc O et H sont confondus.
Est-ce bien ca? Et donc en deduis que, quand l'orthocentre et confondus avec le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit du triangle ABC est confondus avec eux.Quand le centre de gravité et confondus avec le centre du cercle circonscrit, l'orthocentre du triangle ABC est confondus avec eux.
Or, quand le centre circonscrit, l'orthocentre et le centre de gravité d'un triangle sont confondus, le triangle est équilatéral. est-ce ca??
Pour la 2 b.:
Si ABC est équilatéral, les médiatrices, les hauteurs et les médianes sont confondus donc le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit du triangle sont confondus.
Pour la 2 c.
on sait que OH = 3OG (en vecteur) et que les vecteurs OH et OG sont colinéaires, cela veut dire qu'il sont alignés! Quand ABC n'est pas un triangle équilatéral, la droite qui passe par O, G et H est appellée droite d'Euler du triangle ABC.
Si vous trouvez quelque chose qui n'est pas bon pouvez-vous me le dire? merci encore.
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