Cercle des 9 points d'un triangle

J'ai hérité du même sujet que midzou et je bloque à la question 5

Je vous rappelle le sujet:

Soit un triangle quelconque ABC et soient A’, B’, C’ les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].

Tracer la hauteur issue de A, notée [AH].
Quelle est la nature du quadrilatère A’HB’C’ ?
Tracer le cercle (C) circonscrit au triangle A’B’C’.
Montrer que les points A’, H, B’, C’ sont sur le cercle (C).
Tracer les deux autres hauteurs [BI] et [CJ] du triangle ABC.
Démontrer que I et J sont sur le cercle (C).
Présenter les résultats précédents sous forme de théorème.
Soit D l’orthocentre du triangle ABC.
Quelles sont les hauteurs du triangle BCD ?
Que remarque-t-on ?
Que peut-on dire du milieu de [BD] ?
Soient les triangles BAD et ADC.
Que peut-on dire des milieux de [AD] et de [CD] ?
Justifier le titre « cercle des 9 points d’un triangle ».
Ce cercle est aussi appelé cercle d’Euler .

Merci d'avance pour votre aide

Le sujet est traité en détail ici : cercle des 9 points; N.d.Z.

C'est toujours pareil : il faut repérer un triangle rectangle ; le sommet de l'angle droit est sur le cercle dont l'un des diamètres est l'hypoténuse.

Imaginons que je note Z le point qui serait l'intersection du cercle et de [BI]
Le triangle rectangle serait ZIB'
mais comment dire que l'hypot
hénuse [ZB'] est un diamètre?

Remarque: hypoténuse vient du verbe
tenir, sans rapport donc avec hypothèse...(N.d.Z.)

non, ok : j'avais mal lu l'histoire de trapèze isocèle.

en fait, tu ré-appliques le raisonnement que tu as fait à la q. 4 au quadrilatère A'B'IC', qui est du même genre que A'HB'C'.

désolé j'ai encore une question
comment prouver que ce trapèze est isocèle?

je pensais que tu avais fait la question 2...

c'est un trapèze, ok ? ensuite, puisque ABH est rectangle en H, tu sais que la médiane C'H (issue de l'angle droit) vaut la moitié de l'hypoténuse AB, donc C'H = C'A et ensuite, tu sais que C'A = A'B', n'est-ce pas... donc c'est un trapèze dont les côtés obliques sont égaux : c'est un trapèze isocèle.

okay

merci beaucoup

Alors juste comme ça, histoire d'être tranquille... pourquoi donc les sommets d'un trapèze isocèle sont-ils sur un même cercle ?
Rappelons qu'en général ce n'est pas le cas de quatre points pris au hasard, contrairement à trois points qui possèdent toujours un cercle circonscrit, tant qu'ils ne sont pas ni alignés ni confondus.

On se donne donc un trapèze ABCD de bases BC et AD, dont les obliques AB et CD sont égales. Alors, soit O le centre du cercle circonscrit à ABC, situé à l'intersection des médiatrices des côtés de ce triangle. Sur la figure, on a représenté les médiatrices de [AB] et de [BC].

Quels arguments donnerais-tu pour justifier que le cercle (A, B, C) passe aussi par D ?

histoire d'être tranquille, tu pourrais me le dire stp???

ah, un petit farceur !
et bien non, car je suis curieux de lire ton raisonnement.

Précision: ce sont des angles dans tout ce raisonnement

D est sur le cercle uniquement si 2ADB= AOB

2ADB= 2DBC grâce aux angles alternes internes

or 2 DBC = 2DAC grâce aux angles inscrits

or 2DAC= 2ACB grâce aux angles alternes internes

or 2ACB= AOB grâce aux angles inscrits et au centre

donc 2ADB=AOB, donc D est sur le cercle

Le bât blesse en deux points au moins.

D'abord le théorème de l'angle inscrit auquel tu te réfères est une condition nécessaire pour qu'un point soit sur un cercle donné, pas suffisante - en tout cas l'énoncé qu'on en donne en 3e, et celui qu'on voit en 2de ne sont pas des conditions suffisantes. Je veux dire par là que ces énoncés sont de la forme : *si les points A, B, C et D sont sur un même cercle, et si les angles inscrits ... et ... interceptent le même arc, alors ...etc. *

Ensuite et c'est plus fâcheux, tu commets une erreur de logique en écrivant :
Citation
or 2 DBC = 2DAC grâce aux angles inscrits
puisqu'à ce stade de l'affaire, on ne sait pas si D est sur le cercle (c'est justement ce que l'on veut prouver), donc parler d'angle inscrit est prématuré.

et bien je ne vois pas d'autre méthode

Bon je complète un peu ici, l'histoire du trapèze isocèle, défini par les obliques égales.

On se donne par exemple ABCD avec (AB) // (CD) et AD = BC.

Soient E et F les pieds des hauteurs issues de A et B sur [CD].

Les triangles rectangles ADE et BFC sont isométriques, comme ayant une paire de côtés égaux deux-à-deux : AD=BC et AE = BF. On en déduit que les angles $ADE^\widehat{ADE}$ et $BCF^\widehat{BCF}$ sont égaux.

Ceci montre que le trapèze isocèle possède des paires d'angles égaux, relativement à chaque base.

Maintenant, on peut prolonger les côtés obliques, qui se rencontrent en un point I.

Le triangle ICD ainsi formé est isocèle en I, comme ayant deux angles "à la base" égaux.

Alors on sait que la médiatrice (d) de la base [CD] est un axe de symétrie du triangle isocèle ICD. Puisque (AB) est parallèle à (CD), alors (AB) est perpendiculaire à cette médiatrice (d). On en déduit que le symétrique de A par rapport à (d) est situé à la fois sur (AB) et sur (IC) : c'est donc le point B. Ceci démontre que, dans le trapèze isocèle ABCD, les bases [AB] et [CD] ont même médiatrice.

Considérons alors le cercle passant par A, B et C.

Son centre O est situé sur la médiatrice de [AB].

Or celle-ci est aussi la médiatrice de [CD], donc O est équidistant de C et D : ceci montre que le cercle passant par A, B, C passe aussi par D.

Théorème : les sommets d'un trapèze isocèle sont situés sur un même cercle.

C'est un cas particulier d'un théorème plus général (de cocyclicité de quatre points).